几种求极限方法的总结.doc

几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.例1用定义证明证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是N=，，有即2利用两边夹定理求极限例2求极限解：设则有：同时有：，于是由.有已知：∴=13利用函数的单调有界性求极限实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3设，，（n=1,2,）(),求解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见，，，从而，显然是单调增加的，所以两段除以，得这就证明了的有界性设，对等式两边去极限，则有解得4利用无穷小的性质求极限关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.例求极限解4而而故5应用“两个重要极限”求极限例5求解∴原式=6利用洛必达法则求极限例6求（解：=例7求极限（解=7利用泰勒公式求极限例8：求极限解∵中分子为，∴将各函数展开到含项。当时，从而=1-∴原式=8利用数列求和来求极限有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。例9：求极限解：令，则-=从而，∴原式=9用定积分求和式的极限例10设函数f(x)在上连续，且f(x),求解令T=于是lnT==而所以=10利用定积分求极限利用定积分求极限可分为以下两种形式（1）型.定理1设f(x)在上可积，则有：=例12求解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则==（2）型.定理2设f(x)在上可积，则有=epx例13求解：=令f(x)=x,则有==exp=11利用数列的递推公式求极限这种方法实际上包含有两种方法（1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.例14设=1，，3（，求解：递推公式可化为3（设，那么所以，=1，将以上各式相加得如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.例15证明数列2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+设，有递推关系得1+，即因为而但2=1+，所以即由此推出数列的极限存在并且就为1+12利用级数收敛的必要条件求极限当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.收敛的必要条件：若级数收敛，则例16计算解：作级数，令有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0参考文献陈传璋金福临朱学炎数学分析（第二版）高等教育出版社.1983.7解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6第19卷第2期杨曼英《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报1994.第2期唐守宪《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报2003.1第22卷第1期