数学分析2期末试题.docx

数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、下列级数中条件收敛的是（）．
A．B．C．D．

2、若是内以为周期的按段光滑的函数,则的傅里叶（Fourier）级数在
它的间断点处（）．
A．收敛于B．收敛于
C．发散D．可能收敛也可能发散

3、函数在上可积的必要条件是（）．

A．有界B．连续C．单调D．存在原函数

4、设的一个原函数为，则（）
A．B．C．D．
5、已知反常积分收敛于1，则（）
A．B．C．D．
6、收敛，则（）
A．B．C．为任意实数D．

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数在处条件收敛，则它的收敛半径为．
2、若数项级数的第个部分和，则其通项，和．
3、曲线与直线，及轴所围成的曲边梯形面积为．
4、已知由定积分的换元积分法可得，，则，．
5、数集的聚点为．
6、函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式为．

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三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1、．2、．
3、．4、．
5、．

四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）

1、讨论函数项级数在区间上的一致收敛性．
2、求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数．
3、设,将在上展为傅里叶（Fourier）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

1、已知级数与都收敛，且

证明：级数也收敛．
2、证明：．

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试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业
单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D

填空题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈⒉⒊
⒋⒌⒍

计算题（每小题6分，6×5＝30分）
解

（3分）

（3分）
解由分部积分公式得

（3分）

（3分）
解令
由定积分的换元积分公式，得

（3分）

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（3分）
解由洛必达(L＇Hospital)法则得

（4分）

（2分）
解

（2分）

（2分）

（2分）

解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）
解（正整数）
（3分）
而级数收敛，故由M判别法知，
在区间上一致收敛．（3分）

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解幂级数的收敛半径，
收敛区间为．（2分）
易知在处收敛，而在发散，
故的收敛域为．（2分）
（2分）
逐项求积分可得
．
即（2分）
解函数及其周期延拓后的图形如下

函数显然是按段光滑的，
故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。（2分）
由于在为奇函数，
故
而

（4分）
所以在区间上，
（2分）

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证明题（每小题5分，5×2＝10分）
证明由与都收敛知，
级数也收敛。（1分）
又由
可知，
从而由正项级数的比较判别法知
收敛，（2分）
于是由
知级数收敛．（2分）

证明令，则.（1分）
由定积分的换元积分公式，得
（2分）

（2分）

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