地球椭球与椭球面计算理论.docx

§6.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系

6.1.1地球椭球的基本几何参数

地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。

地球椭球的几何定义：是椭球中心，为旋转轴，为长半轴，为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。

地球椭球的五个基本几何参数：
椭圆的长半轴
椭圆的短半轴
椭圆的扁率
椭圆的第一偏心率
椭圆的第二偏心率
其中、称为长度元素；扁率反映了椭球体的扁平程度。偏心率和是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：

我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值
克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体

6378245.0000000000（m）
6356863.0187730473（m）
6399698.9017827110（m）
1／298.3
0.006693421622966
0.0067385254146836378140.0000000000（m）
6356755.2881575287（m）
6399596.6519880105（m）
1／298.257
0.006694384999588
0.0067395018194736378137.0000000000（m）
6356752.3142（m）
6399593.6258（m）
1/298.257223563
0.0066943799013
0.00673949674227
6.1.2地球椭球参数间的相互关系

其他元素之间的关系式如下：

式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。
§6.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系

6.2.1大地坐标系

点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角，叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。点的法线与赤道面的夹角，叫做点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，它同正常高及正高有如下关系

6.2.2空间直角坐标系

以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-，在该坐标系中，点的位置用表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。

6.2.3子午面直角坐标系

设点的大地经度为，在过点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系。在该坐标系中，点的位置用,表示。

6.2.4大地极坐标系
为椭球体面上任意一点，为过点的子午线，为连结的大地线长，为大地线在点的方位角。以为极点，为极轴，为极半径，为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中点的位置用,表示。
椭球面上点的极坐标（,）与大地坐标(,）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。

6.2.5各坐标系间的关系
椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。
1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系
过点作法线，它与轴之夹角为，过点作子午圈的切线，它与轴的夹角为（90°+）。子午面直角坐标同大地纬度的关系式如下：

2.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系
空间直角坐标系中的相当于子午平面直角坐标系中的，前者的相当于后者的，并且二者的经度相同。

3.空间直角坐