层次分析法在决策中的应用.docx

数学在决策中的应用
———层次分析法

学习应用数学后，我结合海运学院的相关专业，寻找数学应用的相关领域时，被利用数学进行决策的层次分析法吸引住了，现在将所学习到的和所想到的做了总结，并将我学习层次分析法的心得分享一下。
首先简单的介绍一下层次分析法，层次分析法(AnalyticHierarchyProcess，简称AHP)是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法[1]。
层次分析法是一种定性与定量相结合、系统化的决策方法。它将决策者的主观判断与实践经验导入模型，并进行量化处理，体现了决策中分析、判断、综合的基本特征。该方法首先将复杂问题按支配关系分层，然后两两比较每层各因素的相对重要性，最后确定各个因素相对重要性的顺序，按顺序做出决策。
层次分析法的具体方法和步骤如下。[2]
1．建立层次结构模型
通过深入分析实际问题，将问题分解成三个层级，即目标层、准则层(要素层)和方案层，同一层次的因素对上层因素有影响，同时又支配下层因素。目标层是最高层，通常只有1个因素，最下层通常为方案措施，要素层可以不止一层，当要素过多时(譬如多于9个)，可以进一步分解出子要素层，并建立关联，见图1。
2.构造判断(成对比较)矩阵
从第二层开始，把同一层级的因素用成对比较法和一定比较尺度构造判断矩阵A，直到最后一层。
，其中i，j=（1,2,3，……，n）
矩阵A中，aij表示因素i与因素j对上一层因素的重要性之比，aij表示因素j与因素i的重要性之比，且aij=1/aji。对于aij的值，Saaty等建议引用数字1至9及其倒数作为标度，见表1。
如果按照图1所示因素构造一个判断矩阵B，即用B1,B2,B3表示A的判断矩阵，如图2：

图1层次结构模型图2A的判断矩阵B
各标度数值含义aij的值含义1因素i与因素j一样重要3因素i比因素j略重要5因素i比因素j明显重要7因素i比因素j强烈重要9因素i比因素j极端重要2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值

表1各标度数值含义
用个简单的例子来说，如果A代表我们要买一台船用发电机，B1代表功能强；
B2代表价格低；B3代表维修容易。如果其中我们认为价格低B2比功能强B1重要，维修容易B3比功能强B2明显重要则我们得到的B为：

查得其实理想构造矩阵就是典型的正互反矩阵。而且应该满足：
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。有一种说法：对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵的一致性要求，转化为要求矩阵的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大[3]。
另外一种是由定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n；
定理：n阶正互反矩阵A的最大特征根，当且仅当时，A为一致阵[4]。
所以有了一个一致性检验指标CI：

其中λmax为矩阵A的最大特征值，一致阵中λmax=n。也就是说，这个层次分析法实则是将构造矩阵与一致阵进行比较，比较两者的相似程度。当λmax越接近n，CI越小，则一致性越好。
判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵的一致性要求，引入特征值RI，查找相应的平均随机一致性指标RI，对应n=1，…，9，Saaty给出了RI的值，如表2所示：
机一致性指标RI的取值RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵:随机地从1至9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ'max，并定义：

使用更为合理的CR作为衡量判断矩阵的一致性指标，并计算一致性比值CR：

通常认为，当CR＜0.1时比较矩阵A具有一致性，或者说其不一致程度是可以接受的;否则就需要调整矩阵A，直到达到满意的一致性为止，然后把最大特征值对应的特征向量标准化，使各分量都大于0且和等于1，这个标准化后的向量就是权向量，代表每一要素对上层指标影响的程度大小。
在一致性计算中我们从公式里看出，需要求得构造矩阵A的最大特征值，Saaty教授建议运用最大特征值λmax所对应的归一化的特征向量作为矩阵A的权向量。
计算权向量有特征向量法和算数平均法，还有几何平均法和最小二乘法等。

这里通过特征向量法来说明，依然求B矩阵的特征值与特征向量，得到最大的特征值λ=3.0037，其对应的特征向量
w=（0.3288，0.9281，0.1747）
归一化后的权向量：W=（0.2297