层次分析法在城市购房决策中的应用.doc

南京晓庄学院2012届本科毕业论文

层次分析法的应用及MATLAB实现
作者：沈小欣指导老师：陈俊
前言
随着经济的发展，收入水平的提高，消费者对商品房的要求也在增加。目前多数消费者购房时考虑的因素有居住环境、孩子的教育环境、地理位置和房价等等。由于涉及金额较大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。
针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。究其原因，主要是考虑的因素太多，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策，已达到最大的满意度。在该文中我们运用运筹学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。
1、层次分析法概述
1.1简介[1]
层次分析法（AnalyticHierarchyProcess简称AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。
1.2层次分析法的基本步骤[2][3]
1.2.1建立层次结构模型
根据问题的性质和要求，提出一个总目标。将目标逐层分解为几个层次，一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。
1.2.2构造成对比较矩阵
设某层有个因素，，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。上述比较是两两因素之间的比较，比较时取尺度。用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则
，称为成对比较矩阵。
比较尺度：(尺度的含义)

尺度 含义1第个因素与第个因素的影响相同3第个因素比第个因素的影响稍强5第个因素比第个因素的影响强7第个因素比第个因素的影响明显强9第个因素比第个因素的影响绝对强第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间1,1/2,……,1/9第个因素与第个因素之比为的相反数

由上述定义知，成对比较矩阵满足以下性质：

也称为正互反矩阵。
补充说明：若该成对比较矩满足，则称为一致性矩阵，一致性矩阵有如下性质：
的秩为1，的唯一非零特征根为；
的任一列向量都是对应于特征根的特征向量。
1.2.3层次单排序及一致性检验
针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。
首先对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，并对其所求得的特征向量做归一化，最后利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。
定义一致性指标：

其中为最大特征根，为矩阵阶数。
随机一致性指标的数据如下：

n1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

一般地，当一致性比率时，检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
对每一层都如上述过程构造成对比较矩阵，并进行一致性检验。
补充说明做一致性检验的原因：
上文我们介绍了一致性矩阵的特性，由于它的任一列向量都是对应于特征根的特征向量，所以以其归一化特征向量作为权向量是非常合适的，但是遗憾的是不是每一个成对比较矩阵都是一致性矩阵，但若在不一致的容许范围内，萨蒂教授建议用如上的方法来得出权向量，因为的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当矩阵的元素离一致性的要求不是很远时，的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。由于也不是所有的成对比较矩阵都在不一致的容许范围内，所以我们制定了一致性检验的过程。
1.2.4层次总排序及其一致性检验
即为确定某层所有因素对于总目标相对重要性的权重的过程。
最底层相对于最高层的权向量的计算公式为（设共有s层），其中表示第2层对第1层的成对比较矩阵,表示第层对第层各个元素所确定的权向量按列排成的矩阵。
例如，第2层有4个元素,那么第2层对第1层的权向量可以表示为一个4维列向量，设为。第3层有6个元素,对应第2层的每个元素可以确定出相应的6维权向量,共有4个权向量（都为列向量），设为，这4个列向量组成一个矩阵设为,即用这个矩阵乘以第2层相对于第1层的权向量,就可以得到第3层相对于第1层的组合权向量，设为，即。
计算出了组合权向量,还需进行组合一致性检验,才能确定该评价是否可信。
第2