2011线性代数试卷A标准答案和评分标准.docx

华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2010-2011学年第2学期考试科目：线性代数
试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟
学号姓名年级专业

题号一二三四五总分得分评阅人

得分
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内

1.设矩阵A,B,C能进行乘法运算，那么（B）成立
(A)AB=AC，A0，则B=C(B) AB=AC，A可逆，则B=C(C) A可逆，则AB=BA(D) AB=0，则有A=0，或B=0
2.设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2=I，其中I为单位阵（下同），则必有（C）
(A) A的行列式等于1(B) A的逆矩阵等于I(C) A的秩等于n(D) A的特征值均为1
3．设向量组线性相关，则向量组中（A）
(A)必有一个向量可以表为其余向量的线性组合(B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合(C)必有三个向量可以表为其余向量的线性组合(D)每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，则有非零解的充分必要条件是（B）
(A)(B)(C)(D)
5.设A为n阶方阵，，是A的伴随矩阵。则：等于(C)
(A)(B)(C)(D)

得分

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
6.已知行列式，则数a=3.
7.设向量组,,线性相关，则数k=.
8.设,,则与的距离为9，内积为37.
9.设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2,…,n，则使为正定矩阵的数t取值范围是．
10.设矩阵A和B相似，其中A=，B=则0，.

得分

1.5CM
三、计算题
11.(满分8分)设矩阵，，，计算.
解答：=
==
计算正确2分，，2分

12.（满分8分）计算行列式D=eq\b\bc\|(\a\al\con1(x12…n,1x2…n,12x…n,…………,123…x))的值。

解：将D的各列全部加到第一列，得
D=(x+1+2+…+n)eq\b\bc\|(\a\al\con1(112…n,1x2…n,12x…n,…………,123…x))（3分）
=(x+eq\f(n(n+1),2))eq\b\bc\|(\a\al\con1(100…0,1x-10…0,11x-2…0,……………,111…x-n))（2分）
=(x+eq\f(n(n+1),2))(x-1)(x-2)…(x-n)（3分）

13.(满分7分)设,求.

[解]：(AI)=eq\b\bc\[(\a\al\con1(1-4-3100,1-5-3010,-164001))（2分）
→eq\b\bc\[(\a\al\con1(1-4-3100,0-10-110,021101))
→eq\b\bc\[(\a\al\con1(10-35-40,0101-10,001-121))
→eq\b\bc\[(\a\al\con1(100223,0101-10,001-121)),（4分）

所以A-1=eq\b\bc\[(\a\al\con1(223,1-10,-121)).（1分）

用公式法酌情给步骤分

得分

1.5CM
四、解答题
14.(满分10分)已知方程组

有无穷多解，求a以及方程组的通解。

解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。
即或。（3分）
当时，该方程组的增广矩阵

于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为
，（4分）
当时增广矩阵
，

，此时方程组无解。（3分）
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。

15.（满分10分）求向量组
，，，的一个最大无关组，且将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来．

1

所以为向量组的一个最大无关组.（6分）
（2分）
（2分）

16.(满分6分)A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|I+A|=|2I-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；
（2）A是否可相似对角化？说明原因。
（3）求|A+3I|。

解：
（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。（2分）
（建议只求出-1，2也给2分）
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。（2分）
（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。（2分）

17.（满分10分）求一个正交变换，化二