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第六章空间力系及重心
一、内容提要
1、空间力对点之矩和对轴之矩
1）空间力对点之矩是矢量，且
2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法：
（a）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即

(b)若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy和FZ及该力的作用点的坐标x、y、z，则力对各坐标轴的矩可表示为
yFz-zFy
zFx-xFz
xFy-yFx
力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）：

4）特殊情况当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。
2、空间任意力系的简化、合成
1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩
主矢R/=F,主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。
主矩Mo=mo(F),主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。
2）空间任意力系的合成结果

空间任意力系的合成结果
主矢主矩最后结果说明平衡合力偶此时主矩与简化中心的位置无关合力合力作用线通过简化中心┴合力合力作用线离简化中心的距离为//力螺旋力系的中心轴通过简化中心与成角力螺旋力系的中心轴离简化中心的距离为3、空间任意力系的平衡

空间任意力系的平衡方程的基本形式为
，，
，，
2）几种特殊力系的平衡方程
（a）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为
，，
（b）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则，，，其平衡方程的基本形式为：
，，
（c）空间力偶系的平衡方程的基本形式为
，，
4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。

二、基本要求
会计算空间力对点之矩和力对轴之矩。
2、会分析空间任意力系的合成结果。
3、对空间单体的平衡问题，会选取合适的平衡方程形式及投影轴或取矩轴，尽量做到一个方程求解一个未知数。
4、正确建立物体重心、质心、形心等概念，掌握几个基本公式的来由。
5、在不同情况下能选择恰当的方法求物体的重心。

三、典型例题分析

例题1长方形的长、宽、高分别为a=4m，b=3m，c=5m，受力情形如图1（a）所示。设F2=F3=F，F1=F，试求（1）该力系向点O简化的结果；（2）简化的最终结果。
图1

解：
以简化中心O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz。
从图中几何关系有
，，
易得主矢与对点O的主矩在坐标轴上的投影分别为

即有，

可知：主矢方向沿y轴负向，对点O的主矩位于Oxz平面内，故┴。由空间力系简化的理论，该力系可进一步合成为一个合力，设该合力的作用点为O/，则它距简化中心O的距离为

例题2边长为a的正方形水平薄板ABCD上作用有一力偶m，设该薄板由六根直杆支持而处于平衡，如图2(a)所示。若不计板重及各杆自重，试求各杆的内力。

（b)
（a)

图2

解：
研究对象：取薄板ABCD为研究对象。
受力分析：该薄板共受六个力与一个力偶的作用。为解题方便，不妨设各杆对板均为拉力。其受力图如图2b。
【解法】建立如图2b所示的空间直角坐标系Bxyz，这样取坐标系的目的是使尽可能多的未知反力与坐标轴平行或相交，以使所列的力矩式平衡方程尽可能简单。
首先取z轴为力矩轴，则有
，
可解得
,
解得
,
解得:
,
解得
,
解得
,
解得
讨论:本题解题过程中，采用了空间力系平衡方程的基本形式，即三投影三力矩形式。事实上，与平面一般力系一样，为简便计算也可以减少平衡方程中的投影方程式，而代以相同数目的力矩方程式。
如可用下列的三个力矩方程式代替上述三个投影方程。
，
，
，
可以解得与上述相同的结果。