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应用平面向量的数量乘积解题
山东王彦秋

平面向量的代数形式即是坐标运算．而向量与代数中的一些问题如函数最值问题等，即是通过向量的数量积的坐标表示联系起来的，向量与其他知识的交汇点，已成为命题的一个热点．本文举例说明平面向量的数量乘积在解题中的重要作用.
一、平面向量的数量积及运算律
例1.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为θ=1500,求a·b,(a-b)2，|a+b|．
分析：利用平面向量的数量积的定义，性质及运算律可直接求a·b,(a-b)2，求|a+b|，应先求|a+b|2，再开方．

解后反思:本题注意(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2这一公式的应用;另外求模的方法也要注意.
二、两向量夹角问题
例2.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()
A.[0,]B.C.D.
解析：且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，选B.
三、向量的模的间题
例3.

分析：应用向量的数量积的运算将待求式子转化为以θ为变量的式子．可求第1问，第2问先假设等式成立，通过模的关系建立θ与k的关系式，通过三角函数的有界性确定k的范围．

解后反思:本题涉及向量、三角函数、不等式等内容,本题的关键是用向量的数量积解决范围问题,其中第二问不少同学直接将a,b坐标代入求解,致使题目运算相当复杂,应当注意题目答案所提供的方法.
四、向量数量积的坐标运算
例4.设a=（4，-3），b＝（2，1），若a＋tb与b的夹角为450，求实数t的值．
分析:利用公式a·b=|a||b|cosθ，建立方程，解出t.

方法归纳:本题考查了向量的坐标运算、模、数量积、一元二次方程等知识，要求对相关知识准确理解．
五、利用向量垂直的条件解题
例5.已知a=(，-1).b=()且存在实数k和t，使得x=a＋(t2-3)b.y=-ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值.
分析：根据题目中的垂直关系和坐标运算列方程求解．
解：由题得：

解后反思:本题具有综合性,要注意观察题目当中的条件,利用垂直这一突破口,列出方程求解k与t的关系式.注意：本题中a与b尽管有坐标，但如果直接求出x与y坐标再用x·y=0求解，则过程太复杂，应先求解|a|、|b|、a·b，这样可使整个题目步骤简洁，运算减少！
例6.已知、是两个非零向量，当+t（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：⊥（+t）
分析：利用|+t|2=（+t）2进行转换，可讨论有关|+t|的最小值问题，若能计算得·（+t）=0，则证得了⊥（+t）
（1）解：设与b的夹角为θ，则
|+t|2=（+t）2=||2+t2||2+2·（t）
=|2+t2|2+2t|||cosθ=||2（t+cosθ）2+||2sin2θ，
所以当t=－cosθ=－=－时，|+t|有最小值
（2）证明：因为·（+t）=·（－·）=·－·=0，所以⊥（+t）
点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便对|+t|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|+t|2=（+t）2进行向量的数量积运算；二是设、的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题
六、利用向量解决生活中的问题
例7.电力公司在为某新建工厂架设电线的施工中，遇到下面情况：道路拐弯处的电线杆②为保持稳定竖立，要加一根固定拉索l，设由电线杆①和电线杆③拉出的电线在电线杆②处交成角α,且对电线杆②的拉力各为F1、F2,拉索l对电线杆②的拉力是F3，l在地面的投影与角α的平分线在地面的投影在一条直线上，l与其地面投影的夹角为β，不考虑其他物理因索，只考虑电线和拉索在电线杆②顶点O处的受力平衡，并有|F1|=|F2|=2940N.在α角固定的情况下，|F3|能否达到最小？为什么？
解：如下图，作出点O的受力分析，根据向量加法、减法的平行四边形法则作出F1与F2的合力，F3在水平方向的分力据点O的受力平衡得||=||．
即,
而

因为α角是固定的，可调整的只有β角，当α固定时，|F3|与cosβ成反比，又cosx在[O,π]内是减函数，∴|F3|随β的增大而增大，当β=00时,|F3|最小，但这是不可能的，因为拉索要固定在地面上，β总大于00.所以调整β角，不能使|F3|达到最小．但适当地增大β角，可使|F3|逐渐变小．
解后反思:这是日常生活中司空见惯的事,解题的关键是正确地建立数学模型.
向量的数量积不同于实数的积，不能将实数的积的运算法则照般到向量的数量积；向量的数量积也不同于实数与向量的积，前者的结果是一个数，后者的结果是一个向量．可以用向量的数量积公式解决有关夹角和长度及垂直问题，应注意公式的灵活应用．
向量的数量积是向量与函数、