对坐标的曲面积分.docx

§10.5对坐标的曲面积分
一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域
假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。

SKIPIF1<0是有向曲面，在SKIPIF1<0上取一小块曲面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的法向量与SKIPIF1<0轴正向的夹角SKIPIF1<0的余弦，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面投影区域的面积值。我们规定：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影SKIPIF1<0为
SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0也就是SKIPIF1<0的情形。

简言之：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影SKIPIF1<0，实际就是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：SKIPIF1<0。
类似地可以定义SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面及SKIPIF1<0面上的投影SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。
二、流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由
SKIPIF1<0
给出，SKIPIF1<0是速度场中的一片有向曲面，函数SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上连续，求单位时间内流向SKIPIF1<0指定侧的流体的质量，即流量SKIPIF1<0。
先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为SKIPIF1<0的一个闭区域，且流体在该闭区域上各点的流速为（常向量）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为该平面的单位法向量。

显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为SKIPIF1<0,斜高为SKIPIF1<0的斜柱体。
1、当SKIPIF1<0时，这斜柱体的体积为SKIPIF1<0，这就是通过闭区域SKIPIF1<0流向SKIPIF1<0所指一侧的流量；
2、当SKIPIF1<0时，显然流体通过闭区域SKIPIF1<0流向SKIPIF1<0所指一侧的流量为零，而SKIPIF1<0；
3、当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，它表示流体通过闭区域SKIPIF1<0实际上流向SKIPIF1<0所指一侧，且流向SKIPIF1<0所指一侧的流量为SKIPIF1<0。因此，不论SKIPIF1<0为何值，流体通过闭区域SKIPIF1<0流向SKIPIF1<0所指向一侧的流量均为SKIPIF1<0。
再讨论一般情况：流体流过的是一片曲面，且流速SKIPIF1<0是变化的，此时的流量计算不能直接用上述方法，必须使用元素法来处理。
把曲面SKIPIF1<0分成SKIPIF1<0小块SKIPIF1<0(SKIPIF1<0同时也代表第SKIPIF1<0小块曲面的面积)。在SKIPIF1<0是光滑的和SKIPIF1<0是连续的前提下，只要SKIPIF1<0的直径很小，我们就可以用SKIPIF1<0上任一点SKIPIF1<0处的流速
SKIPIF1<0
代替SKIPIF1<0上其它各点处的流速，以该点SKIPIF1<0处曲面SKIPIF1<0的单位法向量
SKIPIF1<0
代替SKIPIF1<0上其它各点处的单位法向量，从而得到通过SKIPIF1<0流向指定侧的流量的近似值为
SKIPIF1<0

于是，通过SKIPIF1<0流向指定侧的流量
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
但SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
因此上式又可写成
SKIPIF1<0
令SKIPIF1<0取上述和式的极限，就得到流量SKIPIF1<0的精确值。
这样的极限还会在其它问题中遇到，抽去它们的具体意义，可给出对坐标的曲面积分概念。
三、对坐标的曲面积分定义及性质
【定义】设SKIPIF1<0为光滑的有向曲面，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界。把SKIPIF1<0任意分成SKIPIF1<0块小曲面SKIPIF1<0(SKIPIF1<0同时又表示第SKIPIF1<0块小曲面的面积)，S