复数的运算.docx

第2讲复数的运算

★知识梳理★
1．复数与的和的定义：
2．复数与的差的定义：
3．乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积
4．复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
则
5．复数加、减法的几何意义
(1)加法的几何意义
复数是以、为两邻边的平行四边形对角线所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数是连接向量、的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
6.重要结论
对复数z、、和自然数m、n，有
，，
(2)，，，；
，，，.
(3)，，.
(4)设，，，，，

★重难点突破★

1.重点：掌握复数的运算法则，复数加减法的几何意义及应用
2.难点：复数相关问题的综合应用
3.重难点：.
(1)不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来
问题1:判断下面的命题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
解析：当时，不总是成立的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
点拨：充分注意实数运算与复数运算的区别。
（2）没有掌握虚数单位整数幂的运算结果的周期性
问题2：求值：
原式=
=
=
点拨：虚数单位整数幂的值具有以4为周期的特点，根据必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.
（3）注意运用共轭复数的性质
问题3:已知，求的值

点拨：对于，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.

★热点考点题型探析★
考点一：复数的四则运算
题型1.利用复数四则运算求值
[例1]（广东北江中学2008届数学专题）
()
A． B． C． D．

[解题思路]：运用公式，按步求解

解析：，故选C

[例2](江苏省南通市2008届高三调研考试)
设ω=－+i,A={x|x=ωk+ω－k,k∈Z},则集合A中的元素有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

[解题思路]：用ω的性质。
解析：设ω=－+i,则ω3k=1,ω3k+1=ω,ω3k+2=(k∈Z),
①当k=3n,n∈Z时，x=1+1=2;
②当k=3n+1,n∈Z时，x=ω+=ω+ω2=ω+=－1;
③当k=3n+2,n∈Z时，x=ω2+=ω2+ω=－1答案:B

【名师指引】熟记一些常用结论有利于简化运算，快速解题。
【新题导练】
1．（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）（）．
A．B．C．D．
答案：C
2．(黄家中学高08级月考)求复数（）
（A）（B）（C）（D）
【解】：故选C；

考点二:复数加减法几何意义的应用
题型1:复数及其运算的几何意义
[例3](广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解题思路]：，，

解析：B
[例4]满足条件的点的轨迹是（）
A.椭圆B.直线C.线段D.圆

[解题思路]：如果把看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.
解析：点（0，2）与（-1，0）间的距离为，
动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C

【名师指引】理解复数、复数加减法及复数模的几何意义，熟记一些常用曲线的复数表示。
【新题导练】
1．(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)复数，，则复数在复平面内对应的点位于 （）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：A

2．(广东省五校2008年高三上期末联考)满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是()
A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆
答案：|3+4i|=5满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是
圆心为（0，1），半径为5的圆。故选C

★抢分频道★
基础巩固训练
1.(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)
若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为（）
A、-6B、13C.D.

2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)
定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）
A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限；
答案：A
3．(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)
若（i为虚数单位），则使的值可能是（）
A．0 B． C． D．
答案：将各选项代入检验易得答案选B.
4．(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)
已知复数，则（）
A． B． C． D．
答案：C
5．(山东省济南市2008年2月高三统考)
的共轭复数