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§5线性变换的矩阵表示式
上节例10中，关系式

简单明了地表示出中的一个线性变换.我们自然希望中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示.为此，考虑到（为单位坐标向量），即
，
可见如果线性变换有关系式，那么矩阵应以为列向量.反之，如果一贯个线性变换使，那么必有关系式

总之，中任何线性变换，都能用关系式表示，其中.
把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有
定义7设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象（用这个基线性表示）为

记，上式可表示为
，（5）
其中
，

那么，就称为线性变换在基下的矩阵.
显然，矩阵由基的象唯一确定.
如果给出一个矩阵作为线性变换在基下的矩阵，也就是给出了这个基在变换下的象，那么根据变换保持线性关系的特性，我们来推导变换必须满足的关系式：
中的任意元素记为，有

，
即
（6）
这个关系式唯一地确定一个变换，可以验证所确定的变换是以为矩阵的线性变换.总之。以为矩阵的线性变换由关系式（6）唯一确定.
定义7和上面一段讨论表明，在中取定一个基以后，由线性变换可唯一确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.
由关系式（6），可见与在基下的坐标分别为

即按坐标表示，有.
例11在中，取基

求微分运算的矩阵.
解

所以在这组基下的矩阵为
.
例12在中，表示将向量投影到平面的线性变换，即
，
（1）取基为，求的矩阵；
（2）取基为，求的矩阵.
解（1）

即

（2）

即

由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，一般地，我们有
定理3设线性空间中取定两个基:,由基到基的过度矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那么.
证按定理的假设，有
可逆；
及
，
，
于是

，
因为线性无关，所以
证毕
这定理表明与相似，且两个基之间的过度矩阵就是相似变换矩阵.
例13设中的线性变换在基下的矩阵为
，
求在基下的矩阵.
解:

即
，
求得

于是在基下的矩阵为

定义8线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩.
显然，若是的矩阵，则的秩就是.,若的秩,则的核的维数为.

“线性变换与矩阵的一一对应”的最佳匹配结果
定义7和上面一段讨论表明，在中取定一个基以后，由线性变换可唯一确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应...转至文字»