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线性变换的矩阵表示（完整版）实用资料
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第五节线性变换的矩阵表示

内容分布图示

★线性变换的矩阵表示式
★线性变换在给定基下的矩阵
★线性变换与其矩阵的关系
★例1★例2★例3
★线性变换在不同基下的矩阵★例4
★内容小结★课堂练习
习题6-5
★返回

内容要点：

一、线性变换在给定基下的矩阵
定义1设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基如果这个基在变换下的象为

记则上式可表示为
，
其中=,那末，则称为线性变换在基下的矩阵.
显然，矩阵由基的象唯一确定.

二、线性变换与其矩阵的关系
设是线性变换在基下的矩阵，即基在变换下的象为
=,
结论在中取定一个基后，由线性变换可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确定一个线性变换.故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.

三、线性变换在不同基下的矩阵
已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？
定理1设线性空间中取定两个基；，由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，则
.
定理表明：与相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵.
定义2线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩.
结论(ⅰ)若是的矩阵，则的秩就是.
(ⅱ)若的秩为，则的核的维数为.

例题选讲：

线性变换与其矩阵的关系
例1(讲义例1)在中,取基=,=,=,=1,求微分运算的矩阵.
例2(讲义例2)实数域上所有一元多项式的集合，记作,中次数小于的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作,它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成上的一个线性空间。在线性空间中，定义变换
,
则由导数性质可以证明：是上的一个线性变换,这个变换也称为微分变换.现取的基为，则有
，，，…，,
因此，在基下的矩阵为
=
例3(讲义例3)在中，表示将向量投影到平面的线性变换，即
,
(1)取基为，求的矩阵；
(2)取基为,,,求的矩阵.

线性变换在不同基下的矩阵
例4(讲义例4)设中的线性变换，在基，下的矩阵为，求在基,下的矩阵.

课堂练习
1.已知的两个线性变换
=，=，
其中=，=,试求在基,,,下的矩阵.

7．3线性变换和矩阵

教学目的：
熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变换。
由向量关于给定基的坐标，求出关于这个基的坐标。
已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。
教学内容：
线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基
,,,.
考虑V中任意一个向量

仍是V的一个向量.设

自然要问,如何计算的坐标.
令

(2)……………………………………………

这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标.
令
…
…
A=……………………
…

n阶矩阵A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的
F上n阶矩阵与它对应.
为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式
(3)
=.
设

=
因为是线性变换,所以
(4)
=
将(3)代入(4)得
A

最后等式表明,关于的坐标所组成的列是
A
比较等式(1),我们得到
定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是

.
如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么
(5)
在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有

所以关于基的矩阵是

设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么

令V是数域F上一个n维向量空间。是V的一个位似。那么关于V的任意基的矩阵是

2、线性变换的性质：
引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换，使得

证设

是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射：

我们证明，是V的一个线性变换。设

那么

于是

设，那么

这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：

如果是V的一个线性变换，且

那么对于任意，

从而
定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。对于V的每一线性变换，令关于基的矩阵A与它对应。这样就得到V的全体线性变换所成的集合到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射。并且如果，而

那么
（6）
（7）
证设线性变换关于基的矩阵是A。那么

是到的一个映射。反过来，设

是F上任意一个n阶矩阵。令

由引理7.3