牛顿插值法.docx

牛顿插值算法

专业信息与计算科学
班级113010102
姓名罗彪

1实验名称
牛顿插值法实验报告
2实验目的
掌握牛顿插值法的基本思路和步骤，适用范围及精确度；
培养编程与上机调试能力;
熟悉Matlab6.1软件环境.
3实验要求
利用牛顿插值法的求NEWTON插值多项式的值，在matlab中用内部函数绘制函数图形。
利用Matlab软件作为辅助工具来实现该实验.
4实验原理
在拉格朗日插值方法中，若增加一个节点数据，其插值的多项式需重新计算。现构造一个插值多项式Nn(x)，只需对Nn-1(x)作简单的修正即可得到，这样计算方便。
利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面Nn(x)的各项系数恰好又是各阶差商而各阶差商可用差商公式来计算。
由线性代数知，对任何一个不高n次的多项式P（x）=b0+b1x+b2x2+…+bnxn(幂基)（1）
也可将其写成P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…an(x-x0)..(x-xn-1)
其中ai为系数，xi为给定节点，可由（1）求出ai一般情况下，牛顿插值多项式Nn(x)可写成Nn(X)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…an(x-x0)..(x-xn-1)只需求出系数ai即可得插值多项式。
5实验题目
给定，取节点，构造牛顿插值函数计算点处的值，并绘制图形与比较。
6实验步骤
输入值及（；要计算的函数点。
对给定的由

计算的值。
7实验流程图

8程序及其运行结果
functionNEWTON

x0=-5:1:5;%输入11个插值节点
y0=1./(1+x0.^2);
x=-5:0.5:5;%输入21个插值函数计算点
y=newton(x0,y0,x);%调用下面的函数
plot(x0,y0,'r',x,y,'g')%作图
holdon
y=interp1(x0,y0,x,'spine');%用三次样条插值求插值结果
plot(x0,y0,'r+',x,y,'b')%作图

functiony=newton(x0,y0,x)%定义函数y
n=length(x0);%n取了x0的长度，x0为矩阵
m=length(x);%m取了x的长度，x为矩阵
f=y0;
fork=1:n-1
forj=n:-1:(k+1)
f(j)=(f(j)-f(j-1))/(x0(j)-x0(j-k));%用差商公式求差商
end
end，
fori=1:m
z=x(i);%输入z
s=f(1);%输入s
fork=2:n
p=1.0;
forj=1:k-1
p=p*(z-x0(j));%自变量的差的循环计算
end
s=s+p*f(k);%计算newton插值Nn(x)
end
y(i)=s;
end
y(i)=s%输出结果
运行结果：

9实验体会
=1\*GB2\*MERGEFORMAT⑴通过本次实验让我学会了插值多项式的基本思想。
=2\*GB2\*MERGEFORMAT⑵牛顿插值法建立过程中用到了插值计算，这一点与拉格朗日插值法有所区别，在已知点数较少的情况下牛顿插值法更为准确。
=3\*GB2\*MERGEFORMAT⑶通过编程加深了对matlab的熟悉，特别是一些函数语句。