matlab 牛顿插值法 三次样条插值法.docx

算法组织:
本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton插值多项式和三次样条插值多项式。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两种插值多项式的算法如下：
一、求Newton插值多项式，算法组织如下：
Newton插值多项式的表达式如下：

其中每一项的系数ci的表达式如下：

根据以上公式，计算的步骤如下：

二、求三次样条插值多项式，算法组织如下：
所谓三次样条插值多项式是一种分段函数，它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：

因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：
令：

则满足如下n-1个方程：

方程中有n+1个未知量，则令和分别为零，则由上面的方程组可得到的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式。

计算结果与结果分析
本题中各问的相应计算结果如下：
1、在n取不同值时,xi和对应的f(xi)(亦即下图中的y1)的值如下：
n＝5时:

n＝10时:

n＝20时:

2、Newton插值多项式的表达式如下：

n＝5时，其各项系数分别为:

n＝10时，其各项系数分别为:

n＝20时，其各项系数分别为:

对于三次样条插值多项式，最重要的是求出其M矩阵的值，其中M0和Mn都为0,M1～Mn-1则存储在矩阵M中：
n＝5时的M矩阵(M1～M4)的值为：

n＝10时的M矩阵(M1～M9)的值为：

n＝20时的M矩阵(M1～M19)的值为：

3、不论n为多少，是不会改变的，其值存储在矩阵yy中；当n取不同值的时候，Newton插值多项式和三次样条插值多项式的值是不同的，为了使整个结果直观，实验的最终结果还用图形进行的重现（本问中所得函数值、牛顿插值和三次样条插值的结果分别存在数组变量yy、Nn和Sn中）。
当n＝5时，整个区间中的、以及的值如图所示：

图5-1、与原始值的对比图

n＝20时，整个区间中的和以及和的对比如下面两图所示：

图5-2与原始值的对比图

图5-3与原始值的对比图
通过对比以上三个图可得到如下结论：
1、随着n的增大，使用Newton插值多项式会出现龙格现象（对比图5-1和图5-2中的）。
2、随着n的增大，三次样条插值多项式将越来越接近被插值的函数（对比图5-1和图5-3中的）。

4、根据第3问中得到的数据可以很容易的得到和，它们的值如下表所示：
n值E(Nn)E(Sn)50.432690.423482058.27810.00309当n＝20时，使用Newton插值多项式出现龙格现象，其最大误差达到58.2781，而相应的三次样条插值多项式的最大误差仅为0.00309。可见，n越大，Newton插值越可能偏离被插值函数，而相应的三次样条插值则能更接近于被插值函数。

x=a:(b-a)/n:b;%插值节点
y=f(x);
plot(x,y,'b')%用蓝色线作被插函数图象
holdon
z=a:(b-a)/(2*n):b;
n=length(x);
forj=2:n
fori=n:-1:j
y(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-j+1));%计算差商
end
end
u=y(n);
m=length(z);
forj=1:m
fori=n-1:-1:1
u=y(i)+u*(z(j)-x(i));%计算牛顿插值多项式的值
v(j)=u;
end
u=y(n);
end
plot(z,v,'r')%用红色线作牛顿插值多项式图象
holdoff