病态线性方程组的求解.docx

安徽工业大学
数理科学与工程学院

病态线性方程组的求解

专业数学与应用数学
班级数***班
学号*******
姓名***
指导教师***

二○一五年五月
一、设计目的：
为了更加透彻的熟悉数值分析课程，学习各种数学软件的使用，锻炼自己对知识的实际运用能力。
二、引言：
用直接法求解AX=F线性方程组,对于系数矩阵A对角占优是很有效的。方程阶数不高时,人们经常使用;而当方程组阶数大时,由于积累误差,导致结果失真。为了克服误差积累问题,通常用迭代法。它具有可达到所要求的精度和对计算内存要求不大的优点,对求解大型线性方程组,迭代法计算时间远比直接法少,所以在实际计算中,迭代法也被人们广泛使用。然而迭代法要研究迭代格式的收敛性,如Jacobi迭代对系数矩阵为病态矩阵不收敛,为此我们提供一种修改的Jacobi迭代,并给出一些数值例子来说明有较好的效果。
三、解线性方程组迭代法的描述
设线性方程组AX=P，这里A:{a},X:{x},F:{f},1i,jn,为了更广泛地应用，对A只限制实的非奇异矩阵，那么，若给定初值x,我们熟知的有:
Jacobi迭代:
x=(f-)/aj,1in
四、求解病态线性方程组的另一种迭代解法
设线性方程BX=F,这里系数矩阵B是病态的，指的是矩阵条件数是较大的。条件数越大，就越难求得准确解，为此，我们将方程的两端同加DX项，那么相应的Jacobi迭代有：
X(1)
这里，A为B的对角阵，即A:{b},H:{b}j1i,jn,
记M=，,那么有：

由此可见（1）式收敛，迭代矩阵M的谱半径应满足p(M)<1，谱半径若用M的特征值判断，则较为繁锁；若B不可约，根据线性代数对角占优简单迭代必收敛的性质，为简单起见，我们取D为对角线阵，即D:{d},为保证收敛就得取d=Sign{}，符号Sign{a,b}的含义是与b同号，数值取a,这是充分条件，实际计算中有时可放宽处理，比如可取d=Sign{}或者d=Sign{}j，因而相应的Jacobi迭代修改为：
x=(f-)/(b+d)（2）
下面列举普通Jacobi迭代不收敛，解不出正确结果，而用修改的Jacobi迭代可求出满意结果的例子：
例1：
A=F=
精确解为X=，普通Jacobi迭代不收敛，取
d=Sign{}j，1i,j3
用（2）式迭代40步，X=
例2：
方程系数为Hilbert阵
H:{}F:{}1i,jn
精确解X=，普通Jacobi迭代发散，取d=Sign{}用修改的（2）式迭代，n=1200时迭代10870步结果摘录如下：

五、结论与问题
以上数值试验表明该迭代算法对求解病态线性方程组是有效的，其优点是可达到预定的精度。
求解病态方程组大条件数的系数矩阵，要获得较正确的解是很困难的。本文的算法迭代虽能保证收敛，但与精确解的误差到底怎样，还应将解代入原方程，衡量、检验求得解的可信程度；另外，如何克服求解病态线性方程组收敛缓慢的问题，还有待于进一步工作。

附录
例1的matlab计算程序：
clear
m=40;
n=3;
A=[2-11;111;11-2];
F=[-2-30];
x=zeros(n,m);
fori=1:n
x(i,1)=0;
end
fori=1:n
ifi==1
d(i)=max(abs(A(i,2:n)))*A(i,i)/abs(A(i,i));
elseifi==n
d(i)=max(abs(A(i,1:n-1)))*A(i,i)/abs(A(i,i));
else
d(i)=max(max(abs(A(i,1:i-1))),max(abs(A(i,i-1:n))))*A(i,i)/abs(A(i,i));
end
end
fork=2:m
fori=1:n
x(i,k)=(F(i)-A(i,:)*x(:,k-1)+A(i,i)*x(i,k-1)+d(i)*x(i,k-1))/(A(i,i)+d(i));
end
end
x(:,m)
例2的matlab计算程序：
clear
n=1200;
m=10870;
fori=1:n
forj=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
fori=1:n
f(i)=sum(H(i,:));
end
fori=1:n
d(i)=sum(abs(H(i,:)))*H(i,i)/abs(H(i,i));
end
fori=1:n
x(i,1)=0;
end
fork=1:m
fori=1:n
x(i,k+1)=(f(i)-H(i,:)*x(:,k)+H(i,i)*x(i,k)+d(i)*x(i,k))/(H(i,i)+d(i));
end
end
x(:,m)