线性方程组求解.doc

第三章线性方程组§1消元法一、线性方程组得初等变换现在讨论一般线性方程组、所谓一般线性方程组就是指形式为(1)得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数,称为线性方程组得系数,称为常数项、方程组中未知量得个数与方程得个数不一定相等、系数得第一个指标表示它在第个方程,第二个指标表示它就是得系数、所谓方程组(1)得一个解就就是指由个数组成得有序数组,当分别用代入后,(1)中每个等式都变成恒等式、方程组(1)得解得全体称为它得解集合、解方程组实际上就就是找出它全部得解,或者说,求出它得解集合、如果两个方程组有相同得解集合,它们就称为同解得、显然,如果知道了一个线性方程组得全部系数与常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了、确切地说,线性方程组(1)可以用下面得矩阵(2)来表示、实际上,有了(2)之后,除去代表未知量得文字外线性方程组(1)就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不就是实质性得、在中学所学代数里学过用加减消元法与代入消元法解二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性、下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组、例如,解方程组第二个方程组减去第一个方程得2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成第二个方程减去第三个方程得2倍,把第二第三两个方程得次序互换,即得这样,就容易求出方程组得解为(9,1,6)、分析一下消元法,不难瞧出,它实际上就是反复地对方程组进行变换,而所用得变换也只就是由以下三种基本得变换所构成:1、用一非零数乘某一方程;2、把一个方程得倍数加到另一个方程;3、互换两个方程得位置、定义1变换1,2,3称为线性方程组得初等变换、二、线性方程组得解得情形消元得过程就就是反复施行初等变换得过程、下面证明,初等变换总就是把方程组变成同解得方程组、下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般得线性方程组、对于方程组(1),首先检查得系数、如果得系数全为零,那么方程组(1)对没有任何限制,就可以取任何值,而方程组(1)可以瞧作得方程组来解、如果得系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设、利用初等变换2,分别把第一个方程得倍加到第个方程、于就是方程组(1)就变成(3)其中这样,解方程组(1)得问题就归结为解方程组(4)得问题、显然(4)得一个解,代入(3)得第一个方程就定出得值,这就得出(3)得一个解;(3)得解显然都就是(4)得解、这就就是说,方程组(3)有解得充要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)就是同解得,因之,方程组(1)有解得充要条件为方程组(4)有解、对(4)再按上面得考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组、为了讨论起来方便,不妨设所得得方程组为(5)其中、方程组(5)中得“0=0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)得解、而且(1)与(5)就是同解得、现在考虑(5)得解得情况、如(5)中有方程,而、这时不管取什么值都不能使它成为等式、故(5)无解,因而(1)无解、当就是零或(5)中根本没有“0=0”得方程时,分两种情况:1)、这时阶梯形方程组为(6)其中、由最后一个方程开始,得值就可以逐个地唯一决定了、在这个情形,方程组(6)也就就是方程组(1)有唯一得解、例1解线性方程组2)、这时阶梯形方程组为其中、把它改写成(7)由此可见,任给一组值,就唯一地定出得值,也就就是定出方程组(7)得一个解、一般地,由(7)我们可以把通过表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)得一般解,而称为一组自由未知量、例2解线性方程组从这个例子瞧出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就就是(5)得样子,但就是只要把方程组中得某些项调动一下,总可以化成(5)得样子、以上就就是用消元法解线性方程组得整个过程、总起来说就就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后得一些恒等式“0=0”(如果出现得话)去掉、如果剩下得方程当中最后得一个等式就是零等于一非零得数,那么方程组无解,否则有解、在有解得情况下,如果阶梯形方程组中方程得个数等于未知量得个数,那么方程组有唯一得解;如果阶梯形方程组中方程得个数小于未知量得个数,那么方程组就有无穷多个解、定理1在齐次线性方程组中,如果,那么它必有非零解、矩阵(10)称为线性方程组(1)得增广矩阵、显然,用初等变