放缩法证明数列不等式.docx

放缩法证明数列不等式
一、基础知识：
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：
（1）传递性：若，则
（2）若，则，此性质可推广到多项求和：
若，则:
（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数
注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
2、放缩的技巧与方法：
（1）与求和相关的不等式的放缩技巧：
①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）
③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。
（2）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：
①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
②等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为。
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（3）与数列中的项相关的不等式问题：
①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明
3、常见的放缩变形：
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：

（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）

可推广为：

二、典型例题：
例1设，数列的前项和为，求证：

例2：，，求证：对任意的且，有（提示）

例3：已知数列满足：证明：对于一切正整数，均有
思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。
证明：所证不等式为：
等价于证明：
设

即不等式得证