放缩法证明数列不等式.pdf

万方数据

刚加赤一志=案，．禽圆国蕊·．‘n<厕<n+÷，肌<口^<n+÷，+寺=÷‘尹与+歹b+⋯+矛i南]．如果我们@2哪朋<丁地．·．争强<学．分析：①易求得口。=√玎丽，但数列{‰}不是特殊+i2丁l西+丽"一+歹_而“支。呆我们爱～翁国禽鲤歹，而+西<丁+歹，四此，日J将西侏茸，冉将后由厂(菇)=o得石=南(3)证明：对任意的整数m>4，有去+吉+⋯+寺<所以对任意整数m>4，有吉+吉+⋯+寺<÷．·．髫∈(o，鲁)时，，(鼻)>o；石E(羔，n)时，厂(茁)·’^2√而+√”鬲钏√而+√而2．·．s。=口。+口：”·+‰<(1+2+．．-；n)+÷n=项地合并起来一起进行放缩，尝试知：尹与+≯鲁>寺+<÷+寻c寺+专+⋯+圭，=÷+吾×÷(-一专，已知函数人石)=石i+0忑(，t∈N+)的最大通项公式：k=n’c^=n+÷；上+上+⋯+j-：上+(上+上)+⋯+(上+上)一+——+⋯+一=一+(一+一)+⋯+(一+一)<丁+i(歹+歹"一+矛)上+上+⋯+上<上+上+土+⋯+上+上<一+一+⋯+一<一+一+一+⋯+一+一<②欲证不等式￡尹<s。<￡专垫，可以将￡产、吉，石告+石匕<．告+告，因此，可将石匕保留，再将后值为‰，设数列的{％}前n项和为s。，求证：￡#<s。￡喜至分别看做两个新数列{6。}、{。。}的前n项和；．·．s。=口l+口2+⋯+口。>1+2+⋯+n=翌；#．‘■厂—丁rF(2)数列{口。}的通项公式：口。=÷[2”2一(一1)“]．．·．z=兰彳时以髫)取最大值．石雨了盯的项进行适当的放缩，使之能够求和．左边：上+上+⋯科学思想方法r■三<丁+i2i‘口河北迁安市第一中学王海容。中学生数理化·教与学数列不等式的证明问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点．近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题．笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列(利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题)．下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧．1．放缩为等差数列例1数列，无法求前，l项和S。，需对通项放缩；③利用已知前n项和求数列通项的方法计算出对应的④从而只需证明6。<％<c。，再对数列{6。}、{n。}、{c。}分别求和，即可证得结论．2．放缩为等比数列例2已知数列{口。}的前n项和s。满足：S．=2口。+(一1)4，凡≥1．(1)写出数列1口。}的前三项口1，口2，口3．(2)求数列{口。}的通项公式．分析：(1)由递推公式易知：口。=1，口：=0，屯=2．(3)观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边把上式中的分母中的±l去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于一1与1交错出现，容易想到将式中两项两面的项两两组合后放缩，即可求和．这里需要对m进行分类讨论．(1)当玎l为偶数(m>4)时，(2)当，，l是奇数(m>4)时，m+1为偶数，本题的关键是并项后进行适当的放缩．凡2+2凡<0．28。137口6^．’4，1，一”4_～^n十l“4“5um“6“m—lu孵口4口5口m口m+I．一，YP。
放缩法证明数列不等式
作者：王海容
作者单位：河北迁安市第一中学
刊名：中学生数理化(教与学)
英文刊名：ZHONGXUESHENGSHULIHUA(JIAOYUXUEJIAOYANBAN)
年，卷(期)：2011(4)

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