平行线间的折线问题.docx

平行线间的折线问题
相交线和平行线，是期中期末考试的常客，填空、选择都少不了它，常考的内容主要是性质和判定的综合应用以及平行线的构造，难度虽不算大但陷阱颇多。特别是我们经常遇到稍难一些的平行线加折线问题，为方便同学们学习，我做了以下总结。
平行线间的折线问题主要分下面两种情况：（1）平行线间夹折线凹进去的模型如图（1），（2）平行线间夹折线凸出来的模型如图（2），
很多同学遇到这种模型就晕了，无从下手。只要是平行线间夹折线的模型，一般在折点处做平行线，进而把线的关系转换成角的关系。如图：
通过折点作辅助线将线的关系转换成角的关系后，此类复杂模型就变得简单多了。同学们还要记住这类模型的特点：平行线间夹折线凹进去的模型（1），中间角等于两个边角的和，即∠BOD=∠B+∠D。平行线间夹折线凸出来的模型（2），中间角加两个边角等于360度，即∠BOD+∠B+∠D=360°记住这些结论，做填空、选择很是方便。
课本及综训习题归类：课本37页挑战自我，综训33页第二课时第4题，35页13、17题，36页19题，38页9题，40页27题，卷子上的10题，18题，26题。
拓展：
1.图1将矩形纸片任意剪两刀，得到∠2与∠1，∠3的关系?
图2将矩形纸片任意剪四刀，得到∠1，∠2与∠3，∠4，∠5有何关系?
图3将矩形纸片任意剪六刀，得到∠1，∠2∠3，∠4，∠5、∠6、∠7有何关系?
将矩形纸片任意剪N刀，你会发现什么规律？
3
4
5
6
7
2
1
A
B
D
C
1
2
3
E
A
G
C
E
F
1
1
2
3
4
5
B
D
图1
图2
图3

解析：过点E作EF∥AB
则有EF∥AB∥CD
∵AB∥EF∴∠1＝∠AEF
同理∠3＝∠CEF
∴∠1＋∠3＝∠AEF＋∠CEF＝∠2即∠2＝∠1＋∠3
同样的作法，过点E、F、G分别作AB的平行线，用上述的方法，同理可得∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4，请同学们自己完成．又如图3可得∠1＋∠3＋∠5＋∠7＝∠2＋∠4＋∠6
规律：两平行线间的折线所成的角之间的关系是————奇数角之和等于偶数角之和。
2.如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．

解：（1）证明：过P作PQ∥l1，则有PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）∠3=∠2-∠1；
证明：过P作PQ∥l1，则有PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．

（3）∠3=360°-∠1-∠2．
证明：过P作PQ∥l1，则有PQ∥l1∥l2，
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．
（4）过P作PQ∥l1，则有PQ∥l1∥l2，
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP-∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0，
即∠3=∠1-∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2-∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1-∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1．