巧用-隐圆-求一类几何最值问题-熊猛.pdf

42中学数学研究2015年第12期(下)

巧用“隐圆”求一类几何最值问题

广东省深圳市龙城初级中学(518172)熊猛

几何中因动点产生的的最值近年广泛出现于中考中,成【例2】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动
为中考的热点,也是学生解决问题中的难点,关于几何最值点,满足AE=DF;连接CF交BD于点G;连接BE交AG
问题,教材的模型是通过几何图形的对称性等性质转化为于点H:若正方形的边长为2;则线段DH长度的最小值是
“折线和”,利用“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大.
于第三边,两边之差小于第三边”、“垂线段最短”等知识,从
而解决最值问题.本文通过分析题目条件发现题目中的隐藏
圆(简称“隐圆”),并利用一般的几何最值求解方法来解决
最值问题.
教材中圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有
的点组成的图形叫做圆.根据定义,在解决几何最值问题中,
图3图4
只要能发现某一个动点在变化过程中到同一个定点的距离
相等,就可以利用“隐圆”,以这个定点为圆心,定距离为半径分析:根据正方形的性质可得AB=AD=CD;\BAD=
作出这个隐藏的圆.再利用圆外一点与圆上一点距离的最值\CDA;\ADG=\CDG;然后利用“SAS”证明4ABE和4DCF
问题或一般几何最值求解模型解决.全等,从而\1=\2;再利用“SAS”证明4ADG和4CDG全
◦
【例1】如图,在边长为2的菱形ABCD中,\A=60◦;M等,\2=\3;从而得到\1=\3;然后求出\AHB=90;由此,
是AD的中点,N是AB边上一动点,将4AMN沿MN所在可以得知,点H在以AB为直径的圆上,因此当E、F在运动
的直线翻折到4A0MN;连结A0C;则A0C长度的最小值是过程中,点H的运动轨迹是以AB中点O为圆心,以OH(长
1
.度为AB=1)的半圆.由圆外一点到圆最短距离的点,即
2
为与圆心相连与圆相交的点可知,可知当O、D、H三点共线
p
时,DH的长度最小.利用勾股定理列式求出OD=5;从而
p
线段DH长度的最小值是5−1:
点评:本题灵活运用”90◦的圆周角所对的弦是直径“的
定理,确定定点和定长,再利用“由圆外一点到圆最短距离的
点,即为与圆心相连与圆相交的点”求解.
图1图2【例3】如图,4ABC、4DEF均是边长为2的等边三角
形,点D是边BC、FE的中点,直线AG、FC相交于点M;当
分析:4AMNMN4A0MN;
将沿所在的直线翻折到点4EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是()
0;0pp
M是AD的中点,则AM=AM点N运动时,因此点AA.2−3B.3+1
pp
的运动轨迹是以M为圆心,AM长为半径的半圆,所以当C.2D.3−1
CA0M,A0C.,
、、在同一直线上时的长度最小如图连结分析:如图.连接AD、DG、BO、OM;因4ABC;4EFG均
CM;MD;CCE?ADE:ABCD
延长过点作于点由于菱形是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,则
1p
,\A=60◦;CD=2;DE=CD=1;CE=3;
中则在AD?BC;GD?EF;DA=DG;DC=DF;故\ADG=\CDF:
p2qpp
Rt4MCE中,CM=ME2+CE2=(3)2+22=7;所以\DAG=\DCF:则A、D、C、M四点共圆.因此点M
p1
所以长度的最小值为7−1:的运动轨迹是以AC边中点O为圆心,以AB长为半径的
2
点评:本题关键在于找出动态变化中的定点M及定长圆.所以当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,
p
A0M;做出“隐圆”.BM=BO−OM=3−1:
2015年第12期(下)中学数学研究43

点评:合理利用“直角三角形中,斜边上的中线等于斜边
的一半”构造“隐圆”,从而使问题得解.
【例5】Rt4ABC中,AB=6;AC=8;O为AC的中点,过
点O作OE?OF;OE、OF分别交射线AB、BC于E、F;则EF
的最小值为.

图5图6

点评:本题是利用“四边形的对角互补或外角等于内对
角,则四点共圆”找“隐圆”,再利用相关性质求解.本题可以
用同样的思路求得BM的最大值,此时M点为直线BO与圆
p图9图10
的另一交点,点B与点M位于圆心两侧,最大值为3+1:
【例4】如图点P在第一象限,4ABP是边长为2的等边
三角形,当点A在x轴的正半轴上运动,点B随之在y轴的
正半轴上运动运动过程中,则PO的最大距离是.
图11

分析:由于\ABC=\EDF=90◦;根据“若两个直角三
角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的
直径”可知,点E、B、F、D四点共圆,EF为直径,又根据BD
1
为直角三角形斜边上的中线可知BD=AC=5(根据勾股
图7图82
定理可得AC=10),是定长.