平均变化率瞬时变化率.docx

1.1.1平均变化率
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的实际意义和数学意义
难点：平均变化率的实际意义和数学意义
三、教学过程
一、问题情境
1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
（理解图中A、B、C点的坐标的含义）
t(d)
20
30
34
2
10
20
30
A(1,3.5)
B(32,18.6)
0
C(34,33.4)
T(℃)
2

10

问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）
问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？
二、建构数学
1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。
2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率。
3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。
三、数学运用
例1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，
乙两人的经营成果？
小结：仅考虑一个变量的变化是不行的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器
甲中水的体积（单位：），
计算第一个10s内V的平均变化率。

例3、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]。

五、练习
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
T(月)
W(kg)
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11

2、已知函数f（x）=2x+1，g（x）=—2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。
（发现：y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？）

瞬时变化率与导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
h
t
o
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于此时的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
2导数的概念
（一）则函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在处的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
（二）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处