高考数学一轮复习 课时作业13 变化率与导数、导数的计算 文-人教版高三全册数学试题.doc

课时作业13变化率与导数、导数的计算
[基础达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()
A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)
解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
答案：C
2．[2020·河南南阳月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f(e)＝()
A．eB．－eq\f(1,e)
C．－1D．－e
解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，则f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，所以f′(e)＝－eq\f(1,e)，故f(x)＝－eq\f(2,e)x＋lnx，所以f(e)＝－1.故选C项．
答案：C
3．[2020·山西太原模拟]已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为()
A．1B．0
C.eq\f(1,e)D．－1
解析：∵f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A项．
答案：A
4．[2020·湖南株洲模拟]设函数y＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处的切线斜率为g(t)，则函数y＝g(t)图象的一部分可以是()

解析：由y＝xsinx＋cosx可得y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx．则g(t)＝tcost，g(t)是奇函数，排除选项B，D；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y>0，排除选项C.故选A.
答案：A
5．[2020·广州市高三调研考试]已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为()
A．ln2B．1
C．1－ln2D．1＋ln2
解析：由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2)，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.
答案：D
二、填空题
6．[2019·全国卷Ⅰ]曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，
∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，
∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
答案：y＝3x
7．[2020·天津十二重点中学联考]已知函数f(x)＝(x2－a)lnx，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．
解析：∵f(x)＝(x2－a)lnx(x>0)，∴f′(x)＝2xlnx＋eq\f(x2－a,x)，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.
答案：3
8．[2020·湖南湘东六校联考]已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．
解析：由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点坐标分别为(－1,0)，(0,1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2).
答案：eq\f(1,2)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx)；
(3)y＝eq\f(1＋x,\r(5,x2)).
解析：(1)解法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.
解法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y′＝eq\f(x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′,x＋sinx2)
＝eq\f(1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosx,x＋sinx2)
＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,x＋sinx2).
(3)∵eq\f(1＋x,\r(5,x2))＝x＋x，
∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(