高考数学一轮复习 课后限时集训15 导数与函数的单调性 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

课后限时集训15
导数与函数的单调性
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一、选择题
1．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))
B[因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜eq\f(1,e)，
所以f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).]
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是
()

AB

CD
C[由导函数f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)先减再增，可排除选项A，B；又f′(x)＝0的根为正数，即y＝f(x)的极值点为正数，
所以可排除选项D，选C.]
3．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是
()
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
D[由于f′(x)＝k－eq\f(1,x)，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－eq\f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥eq\f(1,x)，而0＜eq\f(1,x)＜1，
所以k≥1.
即k的取值范围为[1，＋∞)．]
4．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()
A．(1,2] B．(4，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,3]
A[因为f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx，所以f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x＞0)，由x－eq\f(9,x)≤0，得0＜x≤3，所以f(x)在(0,3]上是减函数，
则[a－1，a＋1]⊆(0,3]，
所以a－1＞0且a＋1≤3，
解得1＜a≤2.]
5．函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f(4－x)，且(x－2)f′(x)＞0.若a＝f(0)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
C[由f(x)＝f(4－x)可知，f(x)的图像关于直线x＝2对称，根据题意知，当x∈(－∞，2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．所以f(3)＝f(1)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(0)，
即c＜b＜a，故选C.]
二、填空题
6．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的单调递增区间为________．
eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))[由题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝eq\f(1,x)－a＞0(a＞0)，得0＜x＜eq\f(1,a)，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))).]
7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
(－3,0)∪(0，＋∞)[由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．]
8．若函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．
(－1，＋∞)[f′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2＝eq\f(1－ax2－2x,x)，由题意知f′(x)＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，
∴－1＜a＜0.
综上知a＞－1.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的