高考数学一轮复习 课后限时集训14 导数与函数的单调性 理（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(十四)导数与函数的单调性
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是()

AB

CD
C[由导函数f′(x)的图像可知，函数y＝f(x)先减再增，可排除选项A，B；又f′(x)＝0的根为正数，即y＝f(x)的极值点为正数，所以可排除选项D，选C.]
2．函数f(x)＝lnx－ax(a＞0)的递增区间为()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,a))) D．(－∞，a)
A[由题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝eq\f(1,x)－a＞0(a＞0)，得0＜x＜eq\f(1,a)，∴f(x)的递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a))).]
3．已知函数f(x)＝x3－ax在(－1,1)上递减，则实数a的取值范围为()
A．(1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，3]
B[∵f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a.又f(x)在(－1,1)上递减，∴3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选 B．]
4．(2019·兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导，f(x)＝f(4－x)，且(x－2)f′(x)＞0.若a＝f(0)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
C[由f(x)＝f(4－x)可知，f(x)的图像关于直线x＝2对称，根据题意知，当x∈(－∞，2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．所以f(3)＝f(1)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(0)，即c＜b＜a，故选C.]
5．若函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x存在递减区间，则实数a的取值范围是()
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－1,0)
A[f′(x)＝eq\f(1,x)－ax－2＝eq\f(1－ax2－2x,x)，由题意知f′(x)＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax2＋2x－1＞0有实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只需Δ＝4＋4a＞0，
∴－1＜a＜0.
综上知a＞－1.]
二、填空题
6．函数f(x)＝x2－2lnx的递减区间是________．
(0,1)[函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x)＜0，得0＜x＜1，
∴f(x)的递减区间是(0,1)．]
7．(2019·银川诊断)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
(－3,0)∪(0，＋∞)[由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3，
所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．]
8．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝6，则不等式f(lgx)＜eq\f(1,lgx)＋5的解集为________．
(1,10)[构造g(x)＝f(x)－eq\f(1,x)－5，则g′(x)＝f′(x)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x2f′x＋1,x2)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上递增．
因为f(1)＝6，∴g(1)＝0，
故g(x)＜0的解集为(0,1)，即f(x)＜eq\f(1,x)＋5的解集为(0,1)，
由0＜lgx＜1，得1＜x＜10，不等式的解集为(1,10)．]
三、解答题
9．(2019·辽南五校联考)函数f(x)＝xex－lnx－ax.
(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2(e－1)(x－1)平行，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．
[解](1)f′(x)＝(x＋1)ex－eq\f(1,x)－a(x＞0)，
f′(1)＝2e－1－a＝2(e－1)，所以a＝1.
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