高考数学一轮复习 课后限时集训15 导数与函数的极值、最值 理（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题.doc

课后限时集训(十五)导数与函数的极值、最值
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．(2018·银川三模)已知函数f(x)＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)处取得极值，则a＝()
A.eq\f(1,4) B．eq\f(π,4)
C.eq\f(π,12) D．－eq\f(π,12)
C[∵f′(x)＝eq\f(a,x)－sinx，且f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，
∴eq\f(a,\f(π,6))－eq\f(1,2)＝0，即a＝eq\f(π,12)，故选C.]
2．(2019·东莞模拟)若x＝1是函数f(x)＝ax＋lnx的极值点，则()
A．f(x)有极大值－1 B．f(x)有极小值－1
C．f(x)有极大值0 D．f(x)有极小值0
A[∵f(x)＝ax＋lnx，x＞0，
∴f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，
由f′(1)＝0得a＝－1，
∴f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x).
由f′(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1，
∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．
∴f(x)极大值＝f(1)＝－1，无极小值，故选A.]
3．已知函数f(x)＝lnx－ax存在最大值0，则a的值为()
A．1 B．2
C．e D．eq\f(1,e)
D[f′(x)＝eq\f(1,x)－a，x＞0.当a≤0时，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＞0恒成立，函数f(x)递增，不存在最大值；当a＞0时，令f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝0，解得x＝eq\f(1,a).当0＜x＜eq\f(1,a)时，f′(x)＞0，函数f(x)递增；当x＞eq\f(1,a)时，f′(x)＜0，函数f(x)递减．
∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝lneq\f(1,a)－1＝0，解得a＝eq\f(1,e)，故选 D．]
4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()
A．3 B．4
C．6 D．5
A[设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴l＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小．
由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f(27,R).
∴S′＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S′＝0，得R＝3，则当R＝3时，S最小．故选A.]
5．(2018·南宁一模)设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是()
A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)
C.eq\f(\r(3,2),2) D．eq\f(\r(3,4),2)
C[∵f(x)＝－x3＋3bx，
∴f′(x)＝－3x2＋3 B．
①当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)≤0，不合题意；
②当b＞0时，由f′(x)＝0得x＝±eq\r(b).
由f′(x)＞0得0＜x＜eq\r(b)，
由f′(x)＜0得x＞eq\r(b).
∴f(x)在(0，eq\r(b))上为增函数，在(eq\r(b)，＋∞)上为减函数．
若eq\r(b)≥1时，由f(1)＝－1＋3b＝1得b＝eq\f(2,3)＜1矛盾，故eq\r(b)＜1.
此时f(eq\r(b))＝1，即－(eq\r(b))3＋3beq\r(b)＝1，解得b＝eq\f(\r(3,2),2)，故选C.]
二、填空题
6．函数y＝－ex＋x在R上的最大值是________．
－1[由y＝－ex＋x得y′＝－ex＋1，
由y′＝0得x＝0.
又当x＜0时，y′＞0，
当x＞0时，y′＜0.
∴当x＝0时，y取得最大值－1.]
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－1)[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]
8．(2019·武汉模拟)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[因为f(x)的定