高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业15 导数与函数的极值、最值（含解析）文-人教版高三全册数学试题.doc

课时作业15导数与函数的极值、最值

一、选择题
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()
A.eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)
C．－ln2 D．ln2
解析：y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－eq\f(1,ln2).
答案：B
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.
答案：C
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq\f(a,b)的值为()
A．－eq\f(2,3) B．－2
C．－2或－eq\f(2,3) D．2或－eq\f(2,3)
解析：由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝0，,1＋a＋b－a2－7a＝10，))
解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9，))经检验eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9))
满足题意，故eq\f(a,b)＝－eq\f(2,3)，选A.
答案：A
4．若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f′(x)的图象不可能是()

解析：若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f′(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f′(x)的图象不可能是D.
答案：D
5．(2017·唐山质检)若函数y＝x3－eq\f(3,2)x2＋a在[－1，1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是()
A．－eq\f(1,2) B．0
C.eq\f(1,2) D．1
解析：令y′＝3x2－3x＝3x(x－1)>0，
解得x>1或x<0，
令y′<0，解得0<x<1，
所以当x∈[－1,1]时，[－1,0]函数增，[0,1]函数减，所以当x＝0时，函数取得最大值f(0)＝a＝3，y＝x3－eq\f(3,2)x2＋3，f(－1)＝eq\f(1,2)，f(1)＝eq\f(5,2)，所以最小值是f(－1)＝eq\f(1,2).故选C.
答案：C
6．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()
A．(－eq\r(5)，1) B．[－eq\r(5)，1)
C．[－2,1) D．(－eq\r(5)，－2]
解析：f′(x)＝3x2－3＝0，
得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．
函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，
则函数f(x)极小值点必在区间(a,6－a2)内，即实数a满足a<1<6－a2
且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.
解a<1<6－a2，得－eq\r(5)<a<1，
不等式a3－3a≥f(1)＝－2，
即a3－3a＋2≥0，即a3－1－3(a－1)≥0，即(a－1)(a2＋a－2)≥0，
即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2.
故实数a的取值范围是[－2,1)．故选C.
答案：C
二、填空题
7．函数f(x)＝eq\f(x3,3)＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－eq\f(17,3)，f(2)＝－eq\f(10,3)，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－eq\f(17,3).
答案：－eq\f(17,3)
8．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，
即函数f(x)恰有两个极值点，
即f′(x)＝0有两个不等实根．
因为f(x)＝ax3＋x，
所以f′(x)＝3ax2＋1.
要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.
答案：(－∞，0)
9．(2017·淄博联考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，则实数m的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)＝x3＋mx2＋(m