高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用(一) 理-人教版高三全册数学试题.doc

第2讲导数的应用(一)
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析设切点坐标为(x0，xeq\o\al(2,0))，则切线斜率为2x0，
由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案D
2．若函数h(x)＝2x－eq\f(k,x)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 ()．
A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
解析由条件得h′(x)＝2＋eq\f(k,x2)＝eq\f(2x2＋k,x2)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．
答案A
3．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是 ()．
A．(－∞，4) B．(－∞，3)
C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)
解析f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.
答案D
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝eq\f(1,a)处有极值，则ab的值为()
A．2B．－2C．3D．－3
解析f′(x)＝3ax2＋b，由f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝3aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.
答案D
5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()．
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析不等式(x－1)f′(x)≥0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,f′x≥0))或
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤0，,f′x≤0.))
可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案C
6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．

下列关于函数f(x)的命题：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．
其中真命题的个数有 ()．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图象形状分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D.
答案D
二、填空题
7．函数y＝x－2sinx在[0，π]上的递增区间是________．
解析y′＝1－2cosx，令1－2cosx≥0，得cosx≤eq\f(1,2)，解得2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(5,3)π，k∈R，又0≤x≤π，∴eq\f(π,3)≤x≤π.
答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))
8．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．
答案2
9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，
∴由题意知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
答案(－∞，0)
10．已