高考数学一轮总复习 第二章 函数 第13讲 函数的综合应用考点集训 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

考点集训(十三)第13讲函数的综合应用

1．如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是
x45678910y15171921232527A.一次函数模型B．二次函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－x3，x≤0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(x)－log2x，x>0，))，若x0是y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)
A．恒小于0B．恒大于0
C．等于0D．不大于0
3．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.若新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a；若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为
A．75天B．100天
C．125天D．150天
4．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲、乙商品所获利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P＝eq\f(x,4)，Q＝eq\f(a,2)eq\r(x)(a>0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获利润总不小于5万元，则a的最小值为
A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)
5．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2015年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋eq\f(t2,20－t)(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．

6．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成________米．
7．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

8．某地开发了一个旅游景点，第1年的旅客约为100万人，第2年的游客约为120万人．某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人，该兴趣小组想找一个函数y＝f(x)来拟合该景点对外开放的第x(x≥1)年与当年的游客人数y(单位：万人)之间的关系．
(1)根据上述两点预测，请用数学语言描述函数y＝f(x)所具有的性质；
(2)若f(x)＝eq\f(m,x)＋n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
(3)若f(x)＝a·bx＋c(b>0，b≠1)，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．

第13讲函数的综合应用
【考点集训】
1．A2.B3.A4.B5.36.100
7．【解析】(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))
＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)，
从而，f′(x)＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－6）2＋2（x－3）（x－6）))＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，解得x＝4，(x＝6舍去)．
当3<x<4时，f′(x)>0，当4<x<6时，f′(x)<0，
所以x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
8．【解析】(1)预测①：f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
预测②：f(x)<130对任意x∈[1，＋∞)恒成立．
(2)将(1，100)，(2，120)代入到y＝eq\f(m,x)＋n中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100＝m＋n，,120＝\f(m,2)＋n，))
解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－40，,n＝140.))
则f(x)＝－eq\f(40,x)＋140.
所以f