高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第17讲 导数在函数中的应用——极值与最值练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第17讲导数在函数中的应用——极值与最值

1．(2016·四川卷·文)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(D)
A．－4B．－2
C．4D．2
由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．
所以f(x)在x＝2处取得极小值，所以a＝2.
2．函数f(x)＝eq\f(x,ex)在[0,1]上的最大值为(B)
A．0B.eq\f(1,e)
C．eD.eq\f(2,e)
因为f′(x)＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex)≥0在[0,1]上恒成立，所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最大值eq\f(1,e).
3.(2018·广州一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为(C)
A．(－3，3)B．(－11，4)
C．(4，－11)D．(－3，3)或(4，－11)
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（1）＝0，,f（1）＝10，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋2a＋b＝0，,a＋b＋a2＝9，))
解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))
检验a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值．故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))
4．(2017·安徽二模)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是(D)

令g(x)＝f(x)ex，
则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex，
因为x＝－1为函数g(x)的一个极值点，
所以g′(－1)＝f′(－1)e－1＋f(－1)e－1＝0，
所以f′(－1)＝－f(－1)，
D选项中，f(－1)>0，所以f′(－1)＝－f(－1)<0，这与图象不符，故选D.
5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝32.
由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，
又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，
所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
6．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极值，则a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
因为y′＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为y＝f(x)有极值，所以方程3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不等的实根，所以Δ>0，即36a2－36(a＋2)>0，
即a2－a－2>0，解得a>2或a<－1.
7．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excosx－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上的最大值和最小值．
(1)因为f(x)＝excosx－x，
所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则
h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.
当x∈(0，eq\f(π,2))时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上单调递减．
所以对任意x∈(0，eq\f(π,2)]有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上单调递减．
因此f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上的最大值为f(0)＝1，最小值为f(eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2).

8．(2017·广州五校协作体一诊)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，则实数a的取值范围是(A)
A．(－∞，eq\f(1,2))B．(0，eq\f(1,2))
C．(－∞，eq\f(1,2)]D．(0，eq\f(1,2)]
f(x)＝x(lnx－ax)＝xlnx－ax2(x>0)，
f′(x)＝lnx＋1－2ax.令g