（名师导学）高考数学总复习 第三章 导数及其应用 第17讲 导数与函数的极值、最值练习 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第17讲导数与函数的极值、最值
夯实基础【p41】
【学习目标】
会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值．
【基础检测】

1．下列说法正确的是()
A．函数的极大值就是函数的最大值
B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值
D．闭区间上的连续函数一定存在最值
【解析】结合本题构造一个具体函数，理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念．

如图所示，函数y＝f(x)在B、D处分别存在极值，其中B是极大值点，但不是最大值点，D是极小值点，但不是最小值点；C是最值点，但不是极值点．闭区间上的连续函数一定存在最值．
【答案】D
2．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()
A．y＝x3B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－xD．y＝x＋eq\f(2,x)
【解析】A项，y′＝3x2≥0，在定义域上单调递增，没有极值；
B项，y＝ln(－x)的定义域为(－∞，0)，显然不是奇函数；
C项，设f(x)＝y＝xe－x，则f(－x)＝－xex≠－f(x)，不是奇函数；
D项，设f(x)＝y＝x＋eq\f(2,x)，则f(－x)＝－x－eq\f(2,x)＝－f(x)，故为奇函数，
又y′＝1－eq\f(2,x2)，当x＝±eq\r(2)时，y′＝0，
原函数在区间(－∞，－eq\r(2))上递增，在区间(－eq\r(2)，0)上递减，
所以点(－eq\r(2)，－2eq\r(2))是一个极大值点，
同理，点(eq\r(2)，2eq\r(2))是极小值点．
故D项正确．
【答案】D
3．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的最小值为()
A.eq\f(1,2)B．1C．0D．不存在
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－eq\f(1,x)，令x－eq\f(1,x)＝0得x＝1，
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，1)上递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上递增，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝eq\f(1,2).
【答案】A
4．已知x＝0是函数f(x)＝(x－2a)(x2＋a2x＋2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是__________．
【解析】因为f(x)＝x3＋(a2－2a)x2－4a4，
所以令f′(x)＝3x2＋2(a2－2a)x＝3xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(2（a2－2a）,3)))＝0，
可得函数f(x)＝x3＋(a2－2a)x2－4a4的两个极值点分别为x＝0，x＝－eq\f(2（a2－2a）,3)，
由题意－eq\f(2（a2－2a）,3)＜0，即a2－2a>0，解之得a<0或a>2.
【答案】a>2或a<0
【知识要点】
1．函数的极值与导数
(1)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＜0__，右侧__f′(x)＞0__，则点x＝a叫作函数y＝f(x)的__极小值点__，f(a)叫作函数y＝f(x)的__极小值__．
(2)函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近的其他点的函数值都大，f′(a)＝0，且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＞0__，右侧__f′(x)＜0__，则点x＝a叫作函数y＝f(x)的__极大值点__，f(a)叫作函数y＝f(x)的__极大值__．
2．函数的最值与导数
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则y＝f(x)在闭区间[a，b]上必存在最大值和最小值，且f(x)max＝max{f(a)，f极大值(x)，f(b)}，f(x)min＝min{f(a)，f极小值(x)，f(b)}．
典例剖析【p41】
考点1利用导数研究函数的极值
eq\a\vs4\al(例1)已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
【解析】f′(x)＝1－eq\f(a,ex).
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在区间(－∞，lna)上单调递减，
在区间(lna，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝lna处取得极小值，
且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna