2014届高考数学一轮复习 第72讲《直线与圆的位置关系》热点针对训练 理.doc

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第72讲直线与圆的位置关系))

1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于(B)
A．15°B．20°
C．25°D．30°解析：由已知，CO⊥CP，即∠OCP＝90°.
又∠COB＝2∠CAB＝70°，所以∠P＝90°－∠COB＝20°.
故选B.
2.已知AB与CD相交于圆内一点P，且∠APD＝30°，则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为(C)
A．30°B．45°
C．60°D．180°
解析：特殊位置法：点P是圆心即可得正确答案为C.
3.点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为(B)
A．4B．6
C．8D．9

解析：如右图．
因为OP⊥PC，
所以P为弦CD的中点，
故PC2＝PA·PB＝9×4，
即PC＝6(负值舍去)．

4.(2012·北京市房山区4月一模)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA＝eq\r(3)，PB＝1，则∠ABC＝(B)
A．70°B．60°
C．45°D．30°
解析：由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝eq\r(3)，PB＝1，所以解得PC＝3，
即BC＝2，OA＝1，OP＝2，
因为OA⊥PA，所以∠P＝30°，∠AOB＝60°，
因为OA＝OB，所以∠ABC＝60°，故选B.

5.(2012·北京市西城区第一学期期末)如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2)，则eq\f(PB,BC)＝eq\f(1,2).
解析：根据切割线定理有
PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，eq\f(PA,BC)＝eq\f(\r(3),2)，
PB2＋PB·BC－eq\f(3,4)BC2＝0，
(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0，
所以eq\f(PB,BC)＝－eq\f(3,2)(舍去)，eq\f(PB,BC)＝eq\f(1,2).

6.(2012·广东省惠州市第四次调研)如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝eq\f(12,5).
解析：∠ADC为直径AC所对的圆周角，则∠ADC＝90°.
在Rt△ACB中，CD⊥AB.
由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD＝eq\f(12,5).

7.(2013·衡水调研)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tanθ的值为eq\f(\r(5),2).
解析：设BD＝k(k>0)．
因为AD＝5DB，所以AD＝5k，AO＝OB＝eq\f(5k＋k,2)＝3k，
所以OC＝OB＝3k，OD＝2k.
由勾股定理得，
CD＝eq\r(OC2－OD2)＝eq\r(3k2－2k2)＝eq\r(5)k，
所以tanθ＝eq\f(CD,OD)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2).

8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA＝3时，求AP的长．
解析：(1)因为在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，
所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°.
因为PA，PB是⊙O的切线，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以∠APB＝60°.

(2)如图，过点O作OD⊥AB交AB于点D.
因为在△OAB中，OA＝OB，所以AD＝eq\f(1,2)AB.
因为在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，
所以AD＝OA·cos30°＝eq\f(3\r(3),2)，AP＝AB＝3eq\r(3).

9.(2013·吉林省长春市3月第二次调研)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.
(1)求证：BE＝2AD；
(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．

解析：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，
所以∠BDE＝∠BCA，
又∠DBE＝∠CBA，
所以△BDE∽△BCA，
即有eq\f(BE,BA)＝eq\f(DE,CA)，而AB＝2AC，所以BE＝2DE，
又CD是∠ACB的平分线，
所以AD＝DE，从而BE＝2AD.
(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，
根据割线定理得BD·BA＝BE·