高考四元聚焦·理数——《对点训练》 第72讲 直线与圆的位置关系.doc

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第72讲直线与圆的位置关系))1.如图已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°过点C的切线PC与AB的延长线交于点P那么∠P等于(B)A．15°B．20°C．25°D．30°解析：由已知CO⊥CP即∠OCP＝90°.又∠COB＝2∠CAB＝70°所以∠P＝90°－∠COB＝20°.故选B.2.已知AB与CD相交于圆内一点P且∠APD＝30°则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为(C)A．30°B．45°C．60°D．180°解析：特殊位置法：点P是圆心即可得正确答案为C.3.点P为⊙O的弦AB上一点且AP＝9PB＝4连接PO作PC⊥OP交圆于C则PC的长为(B)A．4B．6C．8D．9解析：如右图．因为OP⊥PC所以P为弦CD的中点故PC2＝PA·PB＝9×4即PC＝6(负值舍去)．4.(2019·北京市房山区4月一模)如图PA是圆O的切线切点为APO交圆O于BC两点PA＝eq\r(3)PB＝1则∠ABC＝(B)A．70°B．60°C．45°D．30°解析：由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝eq\r(3)PB＝1所以解得PC＝3即BC＝2OA＝1OP＝2因为OA⊥PA所以∠P＝30°∠AOB＝60°因为OA＝OB所以∠ABC＝60°故选B.5.(2019·北京市西城区第一学期期末)如图PA是圆O的切线A为切点PBC是圆O的割线．若eq\f(PABC)＝eq\f(\r(3)2)则eq\f(PBBC)＝eq\f(12).解析：根据切割线定理有PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)eq\f(PABC)＝eq\f(\r(3)2)PB2＋PB·BC－eq\f(34)BC2＝0(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0所以eq\f(PBBC)＝－eq\f(32)(舍去)eq\f(PBBC)＝eq\f(12).6.(2019·广东省惠州市第四次调研)如图已知直角三角形ABC中∠ACB＝90°BC＝4AC＝3以AC为直径作圆O交AB于D则CD＝eq\f(125).解析：∠ADC为直径AC所对的圆周角则∠ADC＝90°.在Rt△ACB中CD⊥AB.由等面积法有AB·CD＝CA·CB故得CD＝eq\f(125).7.(2019·衡水调研)如图AB是半圆O的直径点C在半圆上CD⊥AB垂足为D且AD＝5DB设∠COD＝θ则tanθ的值为eq\f(\r(5)2).解析：设BD＝k(k>0)．因为AD＝5DB所以AD＝5kAO＝OB＝eq\f(5k＋k2)＝3k所以OC＝OB＝3kOD＝2k.由勾股定理得CD＝eq\r(OC2－OD2)＝eq\r(3k2－2k2)＝eq\r(5)k所以tanθ＝eq\f(CDOD)＝eq\f(\r(5)k2k)＝eq\f(\r(5)2).8.如图PAPB是⊙O的切线AB为切点∠OAB＝30°.(1)求∠APB的大小；(2)当OA＝3时求AP的长．解析：(1)因为在△ABO中OA＝OB∠OAB＝30°所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°.因为PAPB是⊙O的切线所以OA⊥PAOB⊥PB即∠OAP＝∠OBP＝90°所以∠APB＝60°.(2)如图过点O作OD⊥AB交AB于点D.因为在△OAB中OA＝OB所以AD＝eq\f(12)AB.因为在Rt△AOD中OA＝3∠OAD＝30°所以AD＝OA·cos30°＝eq\f(3\r(3)2)AP＝AB＝3eq\r(3).9.(2019·吉林省长春市3月第二次调研)如图在△ABC中CD是∠ACB的平分线△ACD的外接圆交BC于点EAB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1EC＝2时求AD的长．解析：(1)证明：连接DE因为ACED是圆的内接四边形所以∠BDE＝∠BCA又∠DBE＝∠CBA所以△BDE∽△BCA即有eq\f(BEBA)＝eq\f(DECA)而AB＝2AC所以BE＝2DE又CD是∠ACB的平分线所以AD＝DE从而BE＝2AD.(2)由条件得AB＝2AC＝2设AD＝t根据割线定理得BD·BA＝BE·BC即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)即2t2＋3t－2＝0解得t＝eq\f(12)或t＝－2(舍去)即AD＝eq\f(12).