高考数学大一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法分层演练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第1讲数列的概念与简单表示法

1．已知数列1，2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…，则2eq\r(19)在这个数列中的项数是()
A．16B．24C．26D．28
解析：选C.因为a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，解得n＝26.
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则eq\f(a3,a5)的值是()
A.eq\f(15,16) B.eq\f(15,8)
C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,8)
解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,2)＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝eq\f(2,3)，所以eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).
3．(2019·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为()
A.eq\f(17,6)升 B.eq\f(7,2)升
C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升
解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6).选A.
4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为()
A．0 B．4
C.eq\f(13,3) D.eq\f(16,3)
解析：选A.因为an＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.
5．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2016)等于()
A.eq\f(4032,2017) B.eq\f(4028,2015)
C.eq\f(2015,2016) D.eq\f(2014,2015)
解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝eq\f(（n－1）（n＋2）,2)，所以an＝eq\f(n2＋n,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，故eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a2016)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2016)－\f(1,2017)))
＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2017)))＝eq\f(4032,2017)，选A.
6．已知数列{an}为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－eq\f(2－3,2)