【金版教程】2014届高考数学总复习 2.11 导数的应用(一)限时规范训练 理 新人教A版.doc

【金版教程】2014届高考数学总复习2.11导数的应用(一)限时规范训练理新人教A版
(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1.[2013·鸡西模拟]函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()
A.(－∞，2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2，＋∞)
答案：D
解析：由题意知，f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.故选D.
2.[2012·陕西高考]设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()
A.x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点
B.x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点
C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点
答案：D
解析：f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)，∵x>0，
∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
∴x＝2为f(x)的极小值点．
3.[2013·金版原创]若a>1，则函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为()
A.3 B.2
C.1 D.0
答案：C
解析：f′(x)＝x2－2ax，由a>1可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝eq\f(8,3)－4a＋1<0，所以f(x)在(0,2)内只有一个零点．故选C.
4.[2013·济南名校模考]设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则()
A.a<－1 B.a>－1
C.a<－eq\f(1,e) D.a>－eq\f(1,e)
答案：A
解析：由题知y′＝ex＋a＝0有大于0的实根，即x＝ln(－a)>0⇒－a>1⇒a<－1.
5.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()
A.f(b)>f(c)>f(d)
B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(e)>f(d)
答案：C
解析：依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.
6.[2013·石家庄质检]设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()
A.1<a≤2 B.a≥4
C.a≤2 D.0<a≤3
答案：A
解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx，∴f′(x)＝x－eq\f(9,x)(x>0)，当x－eq\f(9,x)≤0时，有0<x≤3，即在(0,3]上函数f(x)是减函数，∴a－1>0，a＋1≤3，解得1<a≤2.
二、填空题
7.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

①f(x)在[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
④x＝3是f(x)的极小值点．
其中正确的判断是________．(填序号)
答案：②③
解析：由导函数图象可知f(x)在[－2，－1]上递减，在[－1，2]上递增，在[2,4]上递减，x＝－1为极小值点，x＝3不是极值点，故②③正确．
8.[2013·天津模拟]函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．
答案：a>2或a<－1
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，
即x2＋2ax＋a＋2＝0.
因为函数f(x)有极大值又有极小值，
所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
9.[2013·无锡模拟]已知函数y＝－eq\f(1,3)x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．
答案：b<－1或b>3
解析：y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，
∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，
∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.
三、解答题
10.[2013·温州质检]设f(x)＝eq\f(ex,1＋ax2)，其中a为正实数．
(1)当a＝eq\f(4,3)