（山东专用）2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.2 导数与函数的极值、最值学案（含解析）-人教版高三全册数学学案.doc

第2课时导数与函数的极值、最值

考点一函数的极值
命题方向1根据函数图象判断函数极值
【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
【答案】D
命题方向2已知函数求极值
【例2】(1)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
(2)已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．
【解析】(1)f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.
∵x＝－2是f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，
即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0，得a＝－1.
∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.
由f′(x)>0，得x<－2或x>1；由f′(x)<0，得－2<x<1.
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值点为1，∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.
(2)由f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)，得f′(x)＝1－eq\f(a,ex).
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
【答案】(1)A(2)见解析
命题方向3已知函数的极值求参数
【例3】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.
所以f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.
此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.
若a>eq\f(1,2)，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤eq\f(1,2)时，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤eq\f(1,2)x－1<0，所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).
方法技巧
函数极值的两类热点问题
1求函数fx极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f′x；③解方程f′x＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′x在f′x＝0的根x0左右两侧值的符号.
2根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
②验证：求解后验证根的合理性.

1．(方向1)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(C)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(