（山东专用）2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.2 导数与函数的极值、最值学案（含解析）-人教版高三全册数学学案.doc

第2课时导数与函数的极值、最值考点一函数的极值命题方向1根据函数图象判断函数极值【例1】设函数f(x)在R上可导其导函数为f′(x)且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【解析】由题图可知当x<－2时f′(x)>0；当－2<x<1时f′(x)<0；当1<x<2时f′(x)<0；当x>2时f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值在x＝2处取得极小值．【答案】D命题方向2已知函数求极值【例2】(1)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1(2)已知函数f(x)＝x－1＋eq\f(aex)(a∈Re为自然对数的底数)求函数f(x)的极值．【解析】(1)f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.∵x＝－2是f(x)的极值点∴f′(－2)＝0即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0得a＝－1.∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1.由f′(x)>0得x<－2或x>1；由f′(x)<0得－2<x<1.∴f(x)在(－∞－2)上单调递增在(－21)上单调递减在(1＋∞)上单调递增∴f(x)的极小值点为1∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.(2)由f(x)＝x－1＋eq\f(aex)得f′(x)＝1－eq\f(aex).①当a≤0时f′(x)>0f(x)为(－∞＋∞)上的增函数所以函数f(x)无极值．②当a>0时令f′(x)＝0得ex＝a即x＝lna当x∈(－∞lna)时f′(x)<0；当x∈(lna＋∞)时f′(x)>0所以函数f(x)在(－∞lna)上单调递减在(lna＋∞)上单调递增故函数f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna无极大值．综上当a≤0时函数f(x)无极值；当a>0时函数f(x)在x＝lna处取得极小值lna无极大值．【答案】(1)A(2)见解析命题方向3已知函数的极值求参数【例3】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1f(1))处的切线与x轴平行求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值求a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0即(1－a)e＝0解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(12)则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1a)2))时f′(x)<0；当x∈(2＋∞)时f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得极小值．若a≤eq\f(12)时则当x∈(02)时x－2<0ax－1≤eq\f(12)x－1<0所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点．综上可知a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)＋∞)).方法技巧函数极值的两类热点问题1求函数fx极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′x；③解方程f′x＝0求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′x在f′x＝0的根x0左右两侧值的符号.2根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.1．(方向1)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示则下列说法错误的是(C)A．(－13)为函数y＝f(x)的单调递增区间B．(35)为函数y＝f(x)的单调递减区间C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知当x<－1或3<x<5时f′(x)<0y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时f′(x)>0y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞－1)(35)单调递增区间为(－13)(5＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－15处取得极小值在x＝3处取得极大值故选项C错误故选C.2．(方向2