半径为R的圆的内接矩形面积的最大值.docx

半径为R的圆的内接矩形面积的最大值。
用好书上一道题，抵做百道资料题。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。视野开阔，思维活跃。条条大路通罗马，百川归海。
化多元为一元。
法一：设矩形的长和宽分别为。则
矩形面积：
又
所以

令得，（舍）
+0极大值由上表可知在处取得极大值也是最大值
所以矩形面积在处取得最大值为，此时，即此矩形为正方形。
法二：利用均值不等式
设矩形的长和宽分别为。则
矩形面积：
又

所以
当且仅当，即此矩形为正方形时，面积最大，最大值为。
法三：分割成四个小三角形，求面积
分别连接圆心o和矩形的四个顶点A，B，C，D。
则矩形面积，其中
所以当时，即矩形为正方形时，面积最大，最大值为。
法四：分割成四个全等小矩形。
设矩形的长和宽分别为。则
大矩形面积：
又

所以
当且仅当，即此矩形为正方形时，面积最大，最大值为。
法五：引入角
连接AC，记则AB=CD=，AD=BC
大矩形面积
所以当且仅当时，矩形面积最大，最大值为。此时矩形为正方形。

拓展：半径为R的球的内接圆柱体积最大值。
苏教版高中数学必修4P109例5
在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
苏教版高中数学必修4P117复习题第14题：
如图，在半径为R、圆心角为600的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值。