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44数学通讯一2011年第4期(上半月)·专论荟萃·

探求扇形内接矩形的面积最值

金文印张开余陈兵

(山东省滕州一中，277500)

我们在教学中对一些有趣的教学题目应多加
一R(cos一sin)．
思考，注意发掘其中的信息，设计层层递进的“问
题串”，逐步提出由浅入深的问题，让“问题”引领．．．S()=BC·AB
学生的思路，启发学生积极思考，激发求知欲，形
—R。sin(c0s一sin)
成良好的思维品质，培养学生的创造思维能力．
本文从求扇形内接矩形面积最值问题谈起．
一R2(sin0cos～毒in20)
例如图1，有一块半圆形空地，要在这块空
地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边在半
一
圆的直径上，另外两点落在半圆的圆周上．已知半丢sin2一3·)
圆的半径为R，如何选择关于点。对称的点A，D
_CaR2(sin2卧_1cos2
的位置可以使矩形ABCD的面积最大?3
分析设A0B一0，则AB=Rsin0，OA—

=
RCOS0，．‘．矩形面积争。c0S(2一6一O．
S()一AB·2(

I
——Rsin0·2RCOS0当且仅当0：30。时，ES(O)l：Rz．

一
IRsin20．(2)乙种方式：如图3．
当0—45。时，矩形面积DOA因扇形、矩形均为轴对称图
最大，Es(o)-I．=R．图1形，作扇形圆心角的平分线，
即当矩形的长和宽的比可转化为甲种方式．
为2：1时，面积最大．设0DE一0，同(1)的方法
0以
评析若问题研究到此，不加推广，如入宝山可得S口cD=R。cos(20—30。)
之门嘎然而止，实为遗憾．众所周知，半圆是扇形图3
z
一
圆心角为180。的特例，本题若从扇形内接矩形面．

‘
积最值问题来考察，引导学生对扇形圆心角a在0。．
．S()=2SEJFCD
～360。范围内的不同值提出问题，展开讨论，就会

I
一2[Rcos(Z0-3O。)一R。]．
得到令人意想不到的结论．厶
问题1口=90或a一360。，其内接矩形何时当且仅当0=15。时，[s()]一(2一)R。．
面积最大?
根据图形的对称性容易得出其内接矩形为正‘．．Rz>(2一)R。，-当一6o。时，扇形
U
方形时面积最大，详细解答略．
问题2口一60。时，情况又如何呢?的内接矩形的面积最大为Rz，按甲种方式内接
U
分析应首先考虑矩形内接方式有几种，再且LOOB一30。时取得最大值．
比较每种内接矩形面积的最大值，由图形的对称
评析由甲、乙两种形式取最值的条件均是
性，内接方式仅有以下甲，乙两种方式．
(1)甲种方式，如图2．一要，由此想到：此结论能否推广到一般的情形?
厶
设COB一0，则BC

—问题3设扇形圆心角为，∈(0，要)，按甲
Rsin0，厶
AB—OB—QA
种方式，内接矩形面积最大时，0一要吗?
—RCOS0一Rsin0cot60。厶
图2
分析S()一RSinO(Rcos0一Rsin0．cOt)
·专论荟萃·数学通讯——2Ol1年第4期(上半月)45

一R。sin0(cos0一sinO·cota)
又a∈(o，号)·0<1一tan<1，
一R2(丢sin20一c·)
tan号一2tan詈>o．
一R。(sin20·sin口+COS28·COS口)
Zsin．．．问题4的答案是肯定的．

～丢Rzc。ta问题5若口∈(-g，7f)，情况又如何呢?
2COS(20一a)一12
一c。ta，

当且仅当20一a一0，即一时，

DA
[s()]=1R()=1n2tan号．图4
问题4甲种形式的内接矩形面积的最大值分析显然仅有一种形式，只需向甲种形式

一定比乙种形式的内接矩形面积的最大值大吗?转化．

1
分析由图形的对称性易得：乙种形式的内[s()]一2×寺Rtan孚=R。tan导．
接矩形的面积的最大值为厶‘壬
在以上一系列问题的提出与论证过程中，较
s()—：一2×1R。tan号一号R。·2tan詈．充分地体现了解决数学问题的常用的思想方法，
从图形的转化到解析式的化归都体现了转化与化
2tana
归的数学思想；从扇形圆心角几个特殊值得到的
an号-2ta峙一4咄a畸
结论，到一般角时结论的统一表述，这都体现了从
特殊到一般的数学思想；从最后结论的表述，又体
tan。号现了数学内在统一简洁之美．
世界是纷乱复杂的，又是和谐有规律的，科学
卜tan。詈的使命就是从杂乱无章中整理出秩序，力图寻求
内在的统一的规律，规律就是和谐，规律就是美，
我们应引导学生注意发现数学问题内在的规律，
发现数学内在的美．

(收稿日期：2010一l1一O3)

(上接)。
．．，(口)一一_口一=mInn
Jm+1
≤0，
，(6)=一4-~+1b一_=ln6≤0，
√+1

1nc0，
／焘一