利用导数求函数的最值.docx

1.3.3运用导数求函数的最大（小）值
一、学习目标
1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。
2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。
二、学习重难点
重点是求最值的方法和最值的应用。
难点最值与极值的区别及参数问题。
三、知识链接
1、若函数是在闭区间上的连续函数，即在闭区间上函数的图像是一条的曲线，则该函数在闭区间上一定能够取得到和。
2、若函数是开区间上的可导函数，则该函数在闭区间上的最大值与最小值必在或取得。函数的最大值和最小值统称。

四、导学过程
【例1】求函数，的最值。

【例2】已知函数
（1）求的单调递减区间
（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

变式：已知函数在与时都取得极值。
（1）求的值及函数的单调区间。
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围。

D
A
C
x
B
x
【例3】如图，ABCD是一块边长为的正方形铁板，剪掉四个小正方形角，沿虚线折叠后焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度与底面边长的比不超过常数。
(1）写出水箱的容积与水箱高度的函数表达式。
（2）当水箱高度为何值时，水箱的容积最大，
并求出其最大值。

变式：用长为18的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

五、方法、技巧、规律小结
1、单调函数在闭区间上的最值必在或处取得。
2、求函数的最值与不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的左右两侧的函数值判断是或，只需将导数为0的点和处的函数值进行比较即可得到。
3、高考热点恒成立求参问题常转化为求函数的。
六、当堂检测（分A、B两个档次）
A：1、函数在上的最大值为()
A、B、C、0D、
A：2、已知，则的最大值为()
A、36B、18C、25D、42

B：3、若函数在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，
则M-N的值为（）
A．2 B．4 C．18 D．20
4、直线与函数的图像有相异的三个交点，则的取值范围是.

5、函数在区间上的最大值是

七、针对性练习作业（分A、B、C三个梯度）
一、选择题
A：1、函数在区间上的最大值和最小值分别为()
A、5，-15B、5，-4C、-4，-15D、5，-16
B：2、已知函数在区间上的最大值为，则等于()
A、B、C、D、或
C:3在区间上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么在上的最大值为()
A、B、C、8D、4
二、填空题
B：4、如果函数在上的最大值是2，那么在的最小值是.
B：5、设函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是.
C：6、已知，且函数在上是单调增函数，则的最大值是.
三、解答题
7、设函数.
（1）求的单调区间和极值；
（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围.
（3）已知当恒成立，求实数的取值范围.