利用导数求函数的极值与最值.doc

17.3导数的应用
教学目标：（1）会利用导数求函数的极值和函数在闭区间上的最值；
（2）通过求解函数的极值与最值进一步掌握数形结合的思想．
教学重点：函数极值与最值的相关概念及其求法．
教学难点：原函数与导函数的图象关系及含参函数的极值与最值问题．
一、知识要点：
1．函数的极值与导数
（1）函数极值的定义
若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．（如图（1））
a
b
y
x
abcodef
y
x
y=f(x))
y=f(x))
(1)))
(2)))

=1\*GB3①分析图（1）中附近左右两侧的导数变化情况
=2\*GB3②试找出图（2）中的极大值点和极小值点
（2）求函数极值的方法
解方程，当时，
=1\*GB3①如果在附近左侧，右侧，那么是极大值；
=2\*GB3②如果在附近左侧，右侧，那么是极小值；
=3\*GB3③如果在左、右两侧符号不变，则不是函数极值．

2．函数的最值与导数
求函数在上的最大值与最小值的步骤：
求函数在内的极值；
将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、例题分析：
例1．已知函数
求函数的极值；
求函数在上的最大值与最小值．
变式：设函数在及时都取得极值．
求实数的值；
若对于任意的都有恒成立，求的取值范围．
例2．如图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论：
=1\*GB3①在区间内是增函数；=2\*GB3②在区间内是减函数；
=3\*GB3③时，取到极大值；=4\*GB3④时，取到极小值．
其中正确的是（将你认为正确的序号填在横线上）
y
-3333333

123456
x

0

变式：设是函数的导函数，的图象
如右图所示，则的图象最有可能的是()

ABCD

三、课堂练习：
1．函数有()
A．极小值，极大值
B．极小值，极大值
C．极小值，极大值
D．极小值，极大值
2．若函数的极大值为，那么等于()
A．B．C．D．
3．函数在区间上的最小值是()
A．B．C．D．
4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点()
A．1个；B．2个；
C．3个；D．4个.

5．设，若对任意时，恒成立，则实数
的取值范围是
四、小结
1．函数极值与最值的区别和联系
（1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个
定义域而言，是在整体范围内讨论问题．
（2）闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内可导函数若有唯一的极值,则此
极值必是最值．
2．可导函数极值与最值的求法
五、课后练习
实战训练：1、2、3、5、6