分类加法计数原理与分步乘法计数原理理带答案.docx

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础自测：
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有__种．32
解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．
2．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．12
解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．
3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种．
答案24
解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．
4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14
解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：
“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成Ceq\o\al(1,4)＝4(个)四位数．
“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成Ceq\o\al(2,4)＝6(个)四位数．
“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成Ceq\o\al(3,4)＝4(个)四位数．
综上所述，共可组成14个这样的四位数.
题型一分类加法计数原理的应用
例1一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人，女生30人；三班有学生55人，男生35人，女生20人．
(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
思维启迪用分类加法计数原理．
解(1)完成这件事有三类方法
第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；
第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；
第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，
根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法．
(2)完成这件事有三类方法
第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；
第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；
第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．
综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．
思维升华分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
(2)方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
解(1)分析个位数字，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；
个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；
同理，个位是7的有6个；
个位是6的有5个；
…
个位是2的只有1个．
由分类加法计数原理，满足条件的两位数有
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
(2)以m的值为标准分类，分为五类．
第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；
第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；
第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；
第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；
第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．
∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，
即有20个符合题意的椭圆．
题型二分步乘法计数原理的应用
例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．
解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，
知共有选法36＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个