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广义测量平差论文

班级：测绘B093
姓名：刘璐
学号：200905064324
指导老师：赵亚红

由最小二乘配置分析
极大验后估计和最小二乘估计
华北科技学院建筑工程学院测绘B093班刘璐
摘要：通过对最小二乘配置方法的研究，应用该方法对极大验后估计和最小二乘估计进行分析。首先，对最小二乘配置的具体解法进行了讨论。其次，对极大验后估计和最小二乘估计进行了论述。最后，讨论了利用最小二乘配置进行估值的方法。
关键词：最小二乘配置，极大验后估计，最小二乘估计，估值
1序言
在近代测量平差理论中，最小二乘配置占有重要的地位。该方法集经典测量平差、滤波、推估于一体，应用十分广泛。很多学者都对该方法进行过深入的研究，特别是对协方差经验函数的研究大大简化了该方法的应用。但当该方法应用于时间序列时却有其特殊性，具体表现为方程组过大问题、当观测信号协方差矩阵的构建不当可能出现方程组病态问题、提取不同频段信息时如何构建协信号方差阵问题等。但是由于我们目前所学的知识有限，所以我们所探讨和研究的问题也是有所限制的，因此，本文中仅仅探讨了由最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的相关知识和问题。
2最小二乘配置的定义
配置也成为拟合推估，最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法，其理论由Trarup于1969年提出。最小二乘配置法是根据最小二乘原理，按一种特定的拟合法则，对随机参数和非随机参数进行推估的数据处理方法，而最小二乘配置法最初应用于物理大地测量。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外，还包含非随机的系统部分（也称为倾向）。这种兼有求定信号和倾向参数估值的情况在其他测量平差问题中也往往会出现，用广义最小二乘原理平差这类问题，故称为最小二乘配置，简称配置法。此外，在地球形状重力场以及其他平差问题，常需要求定的是推估信号X′的最佳估值和倾向参数的最佳估值，而倾向参数又往往是某种拟合函数的系数，因此配置法又称为拟合推估。
3最小二乘配置的基本原理和解算方法
最小二乘配置在文献【1】中有详细的理论，下面公式（1）直接给出其误差方程：

在公式1中包含两个误差方程，第一个为真实的误差方程，第二个为描述信号的虚拟观测值。公式中符号的含义如下：为信号的系数阵(观测点部分为单位阵，推估点部分为0阵)，为随机信号估值(包括观测点和推估点)，G为经典平差问题的系数阵，为经典平差问题需要求解的待定参数，L为观测值，为信号的虚拟观测值(一般为信号的数学期望)。
根据间接平差理论和矩阵反演理论求解公式(I)的方法有两种：第一种为整体解算，如公式(2)所示；第二种为分别解算如公式(3)所示。

（2）

（3）

公式(2)和公式(3)中新引进的符号含义如下：为已测点信号部分系数阵(通常为单位阵)，为已测点信号的协方差阵，为已测点信号的虚拟观测值，为所有点信号的协方差阵，为所有点信号的权矩阵(为的逆阵)，为观测值的协方差阵，为观测值的权阵(为的逆阵)。由于和的特殊形式，公式(2)和公式(3)还可以进一步简化，如公式(3)可以简化为文献[1-3]中给出的形式。对于的验后协方差阵的获取，可参阅文献[6]。下面，从两方面对公式(2)和公式(3)进行比较。第一，从计算量上对2种解法进行比较。由于矩阵求逆运算在整个求解过程中所占的比重最大，下面只分析该部分运算量。公式(2)中首先要获得和，其中需要由求逆得到。而解方程并评定精度又需计算一次逆阵，所以其求逆的工作量为2次，且矩阵的阶数相当(都比较大)。公式(3)表面J!二看也是求2次逆，但求解|r时其矩阵阶数一般较小(如处理时间序列问题时，一般只为2阶)。第二，从方程组病态的角度对两种解法进行分析。由于在获取时间序列低频信息时需要信号的协方差衰减的十分缓慢，而，所以在求时即使采用全选主元的稳定算法，利用公式(2)方程仍然可能病态。而公式(3)在求逆前把已测点信号和观测值的协方差阵求和，由于通常观测值的协方差为一对角阵，使求逆操作前矩阵的主元素得到增强，所以公式(3)方程的病态程度得以大大减弱。经过比较可知公式(3)的解法优于公式(2)，所以在处理时间序列问题时应尽量采用公式(3)。从获取时间序列不同频段信息的角度对最小二乘配置进行分析。处理时间序列时遇到的第一问题是数据插值，相关文献对插值都有相应的论述，而最小二乘配置处理时间序列能同时完成插值和滤波操作。对于不同频段信息的提取，只要给定不同衰减的信号协方差矩阵，就可以获得相应频段的信息。并且在协方差阵给定的条件下，该结果是最优估值。
4极大验后估计
4.1极大验后估计概念和原理
极大验后估计是以(x/)=max为准则的估计方法，这个准则的含义在直观上比较明显，它的含义是：给定了L的一组子样观测值l可以按一定的