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由最小二乘配置分析极大验后估计与最小二乘估计的异同

姓名：韩正道
学号：1072143208
班级：测绘10-2
指导老师：张会战

由最小二乘配置分析极大验后估计与最小二乘估计的异同
韩正道
内蒙古科技大学内蒙古包头市014010
关键词：最小二乘配置、最小二乘估计、极大验后估计

1.最小二乘配置：
配置又称拟合估计。最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法。而在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外，还包括非随机的系统部分。这种兼有求定信号和倾向参数估值的情况在其他测量平差问题中也往往会出现，用广义最小二乘原理平差这类问题，称为最小二乘配置。此外，在地球形状重力场以及其他平差问题，常需要求定的是推估信号和倾向参数的最佳估值，而倾向参数又往往是某种拟合函数的系数，因此配置法又称拟合推估。
在数学模型中，即包含有倾向参数Y，又包含有信号X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号的最优估值的方法，就是最小二乘配置。最小二乘配置的函数模型一般是
L=BX+GY+Δ
式中为观测向量，Δ为观测噪声，Y为倾向参数，为滤波信号。
最小二乘滤波和推估：当模型中倾向参数y=0时，这是滤波模型，它是不存在倾向参数是的配置模型。根据广义最小二乘原理来导出滤波和推估公式，或者按最小二乘平差方法求解滤波和推估模型，称为最小二乘滤波和推估。
最小二乘配置的验后单位权方差：配置问题的先验单位权方差假定为=1，所以噪声的协因数就等于其方差，信号X的先验协因数就等于。
最小二乘配置的估值公式：最小二乘配置的函数模型是L=BX+GY+Δ.用表示被当作虚拟观测值的先验期望，将信号X当作非随机参数，写出观测方程L=BX+GY+Δ

最小二乘估计：
设被估计量是t维未知的参数向量X，观测向量为（n>t）,其观测误差向量为，观测方程为L=BX+Δ式中的秩rk(B)=t,E(Δ)=0,D(Δ)=,设X的估值为，则有V=B-L
所谓最小二乘估就是要求估计值使下列二次项达到最小值：
（）=VTPV=(B-L)TP(B-L)=min
其中是一个适当选取的对称正定常数阵，称为X的最小二乘估值，记为。
方法：将（）对求自由极值。令其一阶导数为零，得=2PB=0。转置BTPV=BTP(B-L)=0
解的=BTPL/BTPB。又因为=2BTPB>0.故使（）达到极小值。
最小二乘估计的性质。
最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量LS是观测值的线性函数。
当观测误差的数学期望E（）=0时，E（L）=BX。
③当观测误差的方差阵为，而去P=-1或P=-1σ20时，LS的误差方阵达到最小值。
④最小二乘估计不需要X的任何先验统计信息。

3.极大验后估计：
极大验后估计是(x/)=max为准则的估计方法，这里(x/)是随机参数向量在观测向量=的条件下的条件概率密度，l仍表示L的观测值。给定了L的一组子样观测值l，由这组l可以按一定概率取得参数X的不同估值。其中最佳估值的条件概率密度(x/)应为极大值。一般用表示由极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值。
应满足|=0.
此方程为验后方程。
极大验后估计准则式(x/)=max等价于。
=μx+(L-μL)
D()=-=D(X/L)
上两式就是当X、L为正态随机向量时，极大验后估计求X的估值及其误差方差的基本公式。是X的无偏估值。
极大验后估计考虑了参数X的先验统计特性，因此，当参数的先验期望μx和先验方差已知时，极大验后估计改善于最小二乘估计，此时极大验后估值的误差方差要小于其最小二乘估值LS的误差方差。

极大验后估计与最小二乘估计的异同：
1.最小二乘估计是要求估值使（）=VTPV=(B-L)TP(B-L)=min而最小值，而极大似然估计是以(x/)=max为准则的估计方法，求的是最大值，目的不同。
2.最小二乘估计是一种X的估计量LS是观测值的线性函数，是一个适当选取的对称正定常数阵，称为X的最小二乘估值。
而(x/)是随机参数向量在观测向量=条件下的条件概率密度，l仍表示L的观测值。给定了L的一组子样观测值l,由这组l可以按一定概率取得参数X的不同估值，其中最佳的条件概率密度(x/)应为极大值。
在极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数X作为随机向量，但在求最小二乘估计值时，并不需要知道X的先验期望和先验方差。但最小二乘估计实际上并未考虑参数的随机性质，在不知道参数的先验期望和先验方差，或参数是非随机量时，可应用最小二乘估计求其估值。
共同点：各种经典平差方法都是依据最小二乘估计准则VTPV=min去求未知参数X的最小二乘估值和观测值的平差值.

总结
通过本学期对《广义测量平差》的学习，我意识到了结果精度对