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例谈运用物理思维求解极值问题
在处理物理极值问题的时候，我们常采用数学的方法来求，这无可非议，也是高考大纲列出的着重考查的五种能力之一，即运用数学方法处理物理问题的能力。但笔者以为，在平时训练求解有关物理极值问题的时候，如果用纯数学的方法，有两个缺点：一是运算量太大，也易出错；二是不利于物理思维的训练。本文试通过以下几个例子，从数学方法与物理方法两个角度进行比较，希望能得到一些启发。不当之处，恳请同行指正。
例1．设湖岸MN为一直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成SKIPIF1<0角匀速向湖中驶去。有一个自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度为vSKIPIF1<0=4m/s，在水中游泳的速度为vSKIPIF1<0=2m/s。试求船速至多为多少，此人才能追上船？
SKIPIF1<0
L
A
M
d
B
N
图1
解法一：数学方法
如图1，设人自岸上某处沿与岸成θ角的方向游去，
恰与船相遇于B点，设B点与岸相距为d，BA在岸上的
投影长为L，则人由A至B所历的总时间为
t=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
上试说明t与θ有关，且在d，L，SKIPIF1<0一定时由θ决定研究函数y=SKIPIF1<0
取SKIPIF1<0
即SKIPIF1<0
为关于cosθ的二次方程
应满足SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
即SKIPIF1<0
可见SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0
进一步可求得此时SKIPIF1<0
表示当SKIPIF1<0时，y有最小值，即t有最小值，代入数据得SKIPIF1<0
故对应的最大船速应该为SKIPIF1<0
解法二：速度矢量法
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
－v
SKIPIF1<0
N
M
图2
设人先在岸上走一段时间，再入水游泳追船，以船为参照物，由于人和船是同时由A点出发，则人在岸上走时，船看到人正在由船位置逐渐“离去”，离去的相对速度SKIPIF1<0为
SKIPIF1<0=SKIPIF1<0
如图2所示，人在水中游时，船则
看到人正在逐渐“返回”，其返回的相对
速度SKIPIF1<0为SKIPIF1<0
要人能追上船，即“返回”到船上，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0必方向相反。由速度合成的矢量三角形法则知SKIPIF1<0矢量的末端必终止在图2所示的SKIPIF1<0的反向延长线上，又为使v尽可能大，即要SKIPIF1<0尽可能大，故图2中SKIPIF1<0应尽可能短，对应SKIPIF1<0与图中虚线垂直的情况。由于SKIPIF1<0，可见图中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0三矢量组成一等腰直角三角形。此时有SKIPIF1<0
点评：解法一的思路非常简单，但数学运算能力要求很高。解法二从矢量三角形入手，对矢量三角形必须有清晰的概念，对加深、提高矢量三角形的认识有很大的帮助且运算量很小。
F
α
θ
图3
例2．如图3，物体与斜面间的静摩擦因数为SKIPIF1<0，斜面的倾角为SKIPIF1<0。设物体的质量为m，问施加拉力F与斜面成多大角度时，所需的力F最小可使物体沿斜面匀速上滑？
解法一：数学极值法
设力F与斜面夹角为SKIPIF1<0，则由平衡条件得
SKIPIF1<0①
SKIPIF1<0②
SKIPIF1<0③
由①②③SKIPIF1<0
其中SKIPIF1<0
由数学知识得：当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0
解法二：力矢量法
图4
F’
N
f
F
G
F
G
将摩擦力SKIPIF1<0和弹力N合成一个力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与垂直斜面方向夹角满足：SKIPIF1<0为定值。这样物体受到三个力：重力SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和推力SKIPIF1<0，如图4，其中SKIPIF1<0的大小、方向都确定，SKIPIF1<0的方向确定但大小不定，而SKIPIF1<0的方向大小都不
一定，作出力的三角形，显然，当SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0时，
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