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例谈运用物理思维求解极值问题（完整版）实用资料
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例谈运用物理思维求解极值问题
在处理物理极值问题的时候，我们常采用数学的方法来求，这无可非议，也是高考大纲列出的着重考查的五种能力之一，即运用数学方法处理物理问题的能力。但笔者以为，在平时训练求解有关物理极值问题的时候，如果用纯数学的方法，有两个缺点：一是运算量太大，也易出错；二是不利于物理思维的训练。本文试通过以下几个例子，从数学方法与物理方法两个角度进行比较，希望能得到一些启发。不当之处，恳请同行指正。
例1．设湖岸MN为一直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成角匀速向湖中驶去。有一个自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船。已知人在岸上走的速度为v=4m/s，在水中游泳的速度为v=2m/s。试求船速至多为多少，此人才能追上船？

L
A
M
d
B
N
图1
解法一：数学方法
如图1，设人自岸上某处沿与岸成θ角的方向游去，
恰与船相遇于B点，设B点与岸相距为d，BA在岸上的
投影长为L，则人由A至B所历的总时间为
t==
上试说明t与θ有关，且在d，L，一定时由θ决定研究函数y=
取
即
为关于cosθ的二次方程
应满足

即
可见的最小值为
进一步可求得此时
表示当时，y有最小值，即t有最小值，代入数据得
故对应的最大船速应该为
解法二：速度矢量法

－v

N
M
图2
设人先在岸上走一段时间，再入水游泳追船，以船为参照物，由于人和船是同时由A点出发，则人在岸上走时，船看到人正在由船位置逐渐“离去”，离去的相对速度为
=
如图2所示，人在水中游时，船则
看到人正在逐渐“返回”，其返回的相对
速度为
要人能追上船，即“返回”到船上，则与必方向相反。由速度合成的矢量三角形法则知矢量的末端必终止在图2所示的的反向延长线上，又为使v尽可能大，即要尽可能大，故图2中应尽可能短，对应与图中虚线垂直的情况。由于，可见图中与的夹角为，则由三矢量组成一等腰直角三角形。此时有
点评：解法一的思路非常简单，但数学运算能力要求很高。解法二从矢量三角形入手，对矢量三角形必须有清晰的概念，对加深、提高矢量三角形的认识有很大的帮助且运算量很小。
F
α
θ
图3
例2．如图3，物体与斜面间的静摩擦因数为，斜面的倾角为。设物体的质量为m，问施加拉力F与斜面成多大角度时，所需的力F最小可使物体沿斜面匀速上滑？
解法一：数学极值法
设力F与斜面夹角为，则由平衡条件得
①
②
③
由①②③
其中
由数学知识得：当即，，
时，=
解法二：力矢量法
图4
F’
N
f
F
G
F
G
将摩擦力和弹力N合成一个力，与垂直斜面方向夹角满足：为定值。这样物体受到三个力：重力、和推力，如图4，其中的大小、方向都确定，的方向确定但大小不定，而的方向大小都不
一定，作出力的三角形，显然，当垂直于时，
最小，即当与斜面成时最小。
点评：力矢量法的关键是多力平衡问题转化为我们
熟悉的三力平衡问题。
L
O

A
B
P
图5
例3．正点电荷Q和Q分别置与A，B两点，相距L，现以L为直径作半圆，如图5，试求在此半圆上电势最低点P的位置。
解法一：如图，设P点与A点连线PA与AB夹角，
则点电荷在P点产生的电势分别表示为

P点电势可表示为
令y=，则
化简为∵
且等号在
即时成立，此时恰好也取得最小值
∴当时，有最小值，即有最小值
O

A
B
图6
P
F

解法二：设想有一正检验电荷从A处沿圆弧移到B处，则其在圆弧上电势能最低点即为P点，依电势能变化与电场力做功关系，将该电荷由其它点移到P点的过程，均为电场力做功过程，由此推知，从P点移到B点过程均为克服电场力做功过程，即电荷q在P点所受库仑斥力与的合力F的延长线必过O点，如图6所示

设，则

，
∴即
点评：解法一须知点电荷产生电势的计算公式且数学运算十分繁琐，而解法二则物理思想明确又十分简捷，显然后者远优于前者。
E
S
B
a
R
b
图7
例4．如图7所示，水平放置的两平行金属导轨相距=0.25m，电池的电动势E=6v，内阻不计，电阻R=5Ω，匀强磁场竖直向下，开关S闭合后横放在导轨上的金属棒在磁场力作用下由静止开始向右运动。金属棒与导轨间的滑动摩擦力f=0.15N，为了使金属棒的运动速度最大，磁感应强度B应为多大？此最大速度为多少？
解法一：当金属棒做匀速运动时，

得
当时，金属棒的最终速度有极大值
解法二：从能的转化和守恒观点，金属棒的最终速度是匀速运动，电源输出功率的部分使电阻发热，，一部分克服阻力做功。将R看作电源内阻，那么电源的输出功率全部用来克服阻力做功。因为f一定，当电源输出功率P最大时有，即
∵电源的最大输出功率
∴
电源输出功率最大时，路端电压等于电源电动势一半，即，即为