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从物种增长的Malthus模型到混沌

实验人：数学学院09级应用数学研究生
091114351582汪慧091114361592刘宗润091114131583郭晓宝
一、实验目的
本实验涉及数值迭代和蛛网迭代等方法来研究混沌，说明混沌的倍周期分叉、遍历性和某些普实结构。进而说明计算机和数学的结合在科学研究中的重要性。

二、问题的提出
“混沌”这个词正出现在生活的各个领域，不仅出现在数学、物理和生物等自然科学，而且出现在金融、经济和管理等社会科学；甚至出现在文学和艺术的范畴。
物种的生长和衰亡是自然界最基本的现象，本文将建立研究从物种增长的Malthus模型到混沌的数学模型。

三、实验题目
已知映射

已知关于参数的参数分支图
1.在所划分的各区域内自行选择参数的值，做出（1）的迭代示意图，观察图形特征。
2.当取何值时，进入混沌区域的？为什么？请用数值实验说明。
3.针对问题1所选择的的值，做出对应的蛛网迭代示意图。

四、数学模型
.在所划分的各区域内自行选择参数的值。如下表：
Regiongsregion1region2region3region4region5Values=5.11=11.15=13.21=14.50=15.69按照线性映射，进行迭代。
由以上选定的参数做出上式的迭代示意图如下：

五
五、问题的讨论和分析
1、由以上图像可知，当=5.11时，函数的值经过一段时间的震荡之后趋于一个定值1.6312；当=11.15时，函数值就稳定在0.8075与4.0154之间往复摆动，呈现出在这两点之间周期性的波动状态；当=13.21时，函数在经过一段时间震荡后就稳定在四点：4.8570，0.4988，4.0013和0.9669之间周期性的波动；当=14.50时，函数经过一段时间震荡后就稳定在八点：5.3337，0.3732，3.7262，1.3013，5.1357，0.4381，4.0990，0.9860之间周期性波动；但是当=15.69时，从图像上看，虽然还是呈高低震荡的形式，但是我们很难看到有周期震荡的现象了。
2、当=14.6489时，开始进入混沌区域。
3、问题（1）中相应的蛛网迭代示意图如下：

六、实验结果
相关程序：
1、取不同的值时（1）式的迭代示意图的程序：
clearall;
clc;
x(1)=0.3;
arfa=5.11;
fori=1:50
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
x
plot(x)
title('arfa=5.11')

clearall;
clc;
x(1)=0.3;
arfa=11.15;
fori=1:50
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
x
plot(x)
title('arfa=11.15')

clearall;
clc;
x(1)=0.3;
arfa=13.21;
fori=1:100
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
x
plot(x)
title('arfa=13.21')

clearall;
clc;
x(1)=0.3;
arfa=14.50;
fori=1:100
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
x
plot(x)
title('arfa=14.50')

clearall;
clc;
x(1)=0.3;
arfa=15.69;
fori=1:150
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
x
plot(x)
title('arfa=15.69')

2、判断进入混沌区域的相关程序：
clearall;
clc;
x(1)=0.1;
forarfa=14.6:0.0001:14.8
fori=1:3000
x(i+1)=arfa*x(i)*exp(-x(i));
end
y=round(x(1500:1:end).*1e+6)./1e+6;
A=unique(round(x(1500:1:end).*1e+6)./1e+6);
a=length(A);
ifa>1000
arfa;
a;
break
end
end
fprintf('当arfa=%2.4f时进入混沌区域\n',arfa);

3、蛛网迭代的程序：
clearall;
clc;
%arfa=5.11;
%arfa=11.15;
%arfa=13.21;
%arfa=13.85;
arfa=15.69;
x2=0:0.01:7;
y2=x2;
y3=arfa.*x2.*exp(-x2);
x=0.3;
fori=400:500
x=arfa*x*exp(-x);
y(i)=x;
end
x1(1)=0.3;
y1(1)=