二次根式化简和运算.docx

二次根式化简和运算本周内容:二次根式的化简和运算本周重点、难点：二次根式的化简和运算。本周重点、难点分析：1.最简二次根式(1)最简二次根式的概念我们已经知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简，就是把一个二次根式化成最简单的形式．那么，什么是最简二次根式呢？满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式．(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方．1．下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？分析：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的，都不是最简二次根式．解：因数；被开方数含有能开得尽方的因数；的被开方数不是整数；被开方数含有能开得尽方的因式；被开方数不是整数．（2）将二次根式化为最简二次根式的方法步骤把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：(1)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化化简．(2)如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．化二次根式为最简二次根式的步骤：(1)把被开方数(式)分解质因数(式)，化为积的形式；(2)把根号内能开得尽方的因数(或式)移到根号外；(3)化去根号内的分母．若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数．2．把下列各式化成最简二次根式：；分析：根据化简二次根式的方法步骤，进行化简．解法：（3）分母有理化时有理化因式的选择对于分母中含有根号的二次根式，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变．因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．如一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如，常用有互为有理化因式有以下几种：注：分母有理化的因式不是惟一的．3．把下列各式分母有理化：分析：第(1)题分母是，先化简，再分母有理化；第(2)题分母的有理化因式仍是；第(3)题分母的有理化因式是；第(4)题分子x－y可以分解成后，直接与分母约分，从而化去分母；第(5)题若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．解：点评：分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．如上面第(1)题若使分母、分子都乘以，虽然可以达到分母有理化的目的，但计算比较繁．所以，当分子、分母中二次根式可以化简时应选将其化简．再如第(4)、(5)两题分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化．注：形如的式子，分母有理化时，不宜采用分子、分母都乘以，因为有可能等于零．此题也可以这样解：2.二次根式的加减乘除混合运算（1）二次根式的加减运算二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了．整式的加减实质就是去括号和合并同类项．二次根式的加减也是如此．合并同类二次根式与合并同类项类似．如：4．计算：分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式．（2）二次根式的混合运算二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．(3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．计算：分析：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．解：点评第(1)、(2)、(3)题都与整式运算类似．第(4)题，因为除法不满足分配律，可先转化成分数形式，再分母有理化．6．计算：分析：这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式．解：