专题三数列求和及数列的综合应用.docx

第2讲数列求和及数列的综合应用
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和为
A.eq\f(100,101)B.eq\f(99,101)C.eq\f(99,100)D.eq\f(101,100)
解析利用裂项相消法求和．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,5a1＋\f(5×5－1,2)d＝15，))，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝1，))∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，
∴数列{eq\f(1,anan＋1)}的前100项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…eq\f(1,100)－eq\f(1,101)＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101).
答案A
2．(2012·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解析(1)由Sn＝2n2＋n，得
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
所以an＝4n－1，n∈N＋.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋，
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋.
考题分析
数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．
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高频考点突破
考点一：裂项相消法求数列的前n项和
【例1】(2012·门头沟一模)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq\f(1,an·an＋1)(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[审题导引](1)运用公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))求an，注意n＝1时通项公式an；
(2)裂项法求和．

[规范解答](1)由已知，当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,2n－1，n≥2.))
(2)由(1)知，
bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，n＝1，,\f(1,2n－12n＋1)＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，n≥2，))
当n＝1时，T1＝b1＝eq\f(1,6)，
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4n＋2)，
∴{bn}的前n项和Tn＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4n＋2).

【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：
(1)eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；
(2)eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)