不定积分及其性质高数b.docx

第一节不定积分的概念及其性质
教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的概念及性质;
基本积分公式.
教学重点：基本积分公式的推导及应用.
教学过程：
一、原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xÎI都有
F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数
例如因为(sinx)¢=cosx所以sinx是cosx的原函数
又如当xÎ(1+¥)时
因为所以是的原函数
提问:
cosx和还有其它原函数吗？
原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一xÎI都有
F¢(x)=f(x)
简单地说就是连续函数一定有原函数
两点说明
第一如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数F(x)+C都是f(x)的原函数其中C是任意常数
第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数则
F(x)-F(x)=C(C为某个常数)
定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作

其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式x称为积分变量
根据定义如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数那么F(x)+C就是f(x)的不定积分即

因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数
例1因为sinx是cosx的原函数所以

因为是的原函数所以


例2.求函数的不定积分
解：当x>0时(lnx)¢
(x>0)
当x<0时[ln(x)]¢
(x<0)
合并上面两式得到
(x¹0)
例3设曲线通过点(12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程
解设所求的曲线方程为y=f(x)按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为y¢=f¢(x)=2x,
,
即f(x)是2x的一个原函数
因为
故必有某个常数C使f(x)=x2+C即曲线方程为y=x2+C
因所求曲线通过点(12)故
2=1+CC=1
于是所求曲线方程为y=x2+1
积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线
从不定积分的定义即可知下述关系

或
又由于F(x)是F¢(x)的原函数所以

或记作
由此可见微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数
二、基本积分表
(1)(k是常数)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
(13)

例4
例5
例6
三、不定积分的性质
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即

这是因为,=f(x)+g(x).
性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即
(k是常数k¹0)
例7.


例8

例9
例10
例11
.
例12


例13
=tanx-x+C
例14

例15.