1819 31 315 空间向量的数量积.docx

3.1.5空间向量的数量积
学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)
[自主预习·探新知]
教材整理1空间向量的夹角
阅读教材P91～P92上半部分，完成下列问题．
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
如图3­1­27，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求向量eq\o(BC1,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))夹角的大小．
图3­1­27
[解]∵eq\o(AD1,\s\up8(→))＝eq\o(BC1,\s\up8(→))，
∴∠CAD1的大小就等于〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉．
∵△ACD1为正三角形，
∴∠CAD1＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,3).
∴向量eq\o(BC1,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))夹角的大小为eq\f(π,3).
教材整理2空间向量的数量积
阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题．
1．数量积的定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的性质
(1)cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)(a，b是两个非零向量)．
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．
(3)|a|2＝a·a＝a2.
3．数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()
(2)在△ABC中，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝∠B.()
(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．()
(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()
[答案](1)×(2)×(3)√(4)×
2．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________.
【导学号：71392174】
[解析]cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(\r(2),2),\r(2)×\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(2),2)，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).
[答案]eq\f(3π,4)
教材整理3数量积的坐标表示
阅读教材P93～P94例3以上的部分，完成下列问题．
1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．
(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1)).
(4)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))(a≠0，b≠0)．
2．空间两点间距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2).
1．若a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且a⊥b，则x＝______.
[解析]∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得x＝2.
[答案]2
2．与向量a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．
[解析]|a|＝eq\r(12＋22＋22)＝3，故与a方向相同的单位向量是eq\f(a,|a|)＝eq\f(1,